结论：房屋续租未签合同产生纠纷时，主要涉及原租赁合同的延续性、租金及支付方式、租赁期限以及双方权利义务等核心问题。以下是对这些问题的详细分析：

1. 原租赁合同的延续性：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。这意味着，如果双方在原租赁合同到期后未续签书面合同，但承租人继续使用房屋且出租人未提出异议，则原租赁合同中的条款（除租赁期限外）继续有效。
   • 建议：双方应尽快就续租事宜达成一致，并签订书面合同以明确各自的权利和义务。如果无法达成一致，出租人有权随时要求承租人搬离，但应给予合理期限。

2. 租金及支付方式：

   • 法律背景：在原租赁合同继续有效的情况下，租金及支付方式通常按照原合同执行。但如果双方对租金或支付方式有新的约定，则应按照新约定执行。
   • 建议：双方应就租金及支付方式进行明确约定，并保留好相关证据（如转账记录、收据等）。如果发生纠纷，这些证据将有助于证明双方的真实意思表示。

3. 租赁期限：

   • 法律背景：由于未签订书面续租合同，租赁期限变为不定期。这意味着出租人或承租人都可以在合理期限内通知对方解除租赁关系。
   • 建议：为了避免不必要的纠纷，双方应尽快签订书面续租合同，并明确租赁期限。如果确实无法签订书面合同，也应通过其他方式（如短信、邮件等）就租赁期限达成一致，并保留好相关证据。

4. 双方权利义务：

   • 法律背景：在原租赁合同继续有效的情况下，双方的权利义务通常按照原合同执行。但双方也可以就新的权利义务进行约定。
   • 建议：双方应就房屋的使用、维修、保养等事项进行明确约定，并保留好相关证据。如果发生纠纷，这些证据将有助于证明双方的责任和义务。

可能后果：

• 如果双方无法就续租事宜达成一致，且出租人要求承租人搬离，承租人应尽快搬离以避免不必要的法律纠纷。如果承租人拒绝搬离，出租人可以通过法律途径（如起诉、申请强制执行等）要求承租人搬离。
• 如果双方在续租过程中发生纠纷，且无法通过协商解决，任何一方都可以向法院提起诉讼或申请仲裁以维护自己的合法权益。

行动建议：

• 双方应尽快就续租事宜进行协商，并签订书面合同以明确各自的权利和义务。
• 如果无法签订书面合同，也应通过其他方式就关键事项（如租金、租赁期限、双方权利义务等）达成一致，并保留好相关证据。
• 如果发生纠纷，应首先尝试通过协商解决；如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决。

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