结论：劳务派遣协议到期后，劳务派遣工未与劳务公司续签合同但继续到用工单位工作的，一般视为双方默认按原合同条件继续履行，形成事实劳动关系。不过，这种情况涉及复杂的法律关系和责任划分，以下从多个角度进行分析：
一、法律关系的认定
视为续订劳动合同：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同或劳务派遣合同期满后，若劳动者仍在原用人单位（或用工单位）工作且未提出异议，视为双方同意以原条件继续履行合同。这意味着，尽管没有书面续签合同，但双方实际上已经形成了事实劳动关系。
事实劳动关系的法律后果：在事实劳动关系期间，劳动者享有与签订书面劳动合同相同的权益，包括获得劳动报酬、享受社会保险和福利待遇等。同时，派遣单位和用工单位也需承担相应的义务和责任。
二、劳动者的权利与诉求
双倍工资赔偿：若劳务派遣单位在合同到期后超过一个月不满一年未与劳动者续签书面合同，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资。起算时间为合同到期满一个月的次日，截止至补签合同前一日。
无固定期限劳动合同：若劳动者满足特定条件（如连续工作满十年或连续订立二次固定期限合同），有权要求签订无固定期限劳动合同。若用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
经济补偿：若劳务派遣单位不续签且劳动者继续工作，单位应按工作年限向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准为每工作满一年支付一个月工资，不满六个月的支付半个月工资，六个月以上不满一年的支付一个月工资。
三、派遣单位和用工单位的义务与责任
及时补签合同：派遣单位应尽快与劳动者补签劳务派遣合同，明确权利义务，合同期限需符合法律规定。这有助于避免潜在的法律风险，并保障劳动者的权益。
支付报酬与福利：在合同未续签期间，派遣单位和用工单位应按原待遇支付劳动报酬，并缴纳社会保险费用，提供相应福利待遇。这是派遣单位和用工单位的基本义务，也是保障劳动者权益的重要措施。
法律责任：因未及时续签合同引发争议，派遣单位和用工单位可能需承担经济补偿金、赔偿金等法律责任。这包括支付双倍工资差额、补缴社保费用以及支付经济补偿金等。
四、用工单位的特殊责任
尽管用工单位未直接与劳动者签订合同，但在劳务派遣关系中，对劳动者的管理使用负有责任。若用工单位继续留用而未通过派遣单位续签合同，也可能涉及法律责任。例如，用工单位可能因未尽到监督义务（如未及时提醒派遣单位续签）而承担连带责任。
五、纠纷解决途径
协商解决：首选友好协商，劳动者可与派遣单位和用工单位就补签合同、支付双倍工资等诉求进行沟通。这有助于快速解决问题，减少纠纷的发生。
劳动仲裁：协商不成时，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，劳动者需提供相关证据证明继续工作的事实，如考勤记录、工资流水等。
提起诉讼：对仲裁裁决不服，劳动者可向人民法院提起诉讼。法院将全面审查案件并依法判决，以维护劳动者的合法权益。
六、应对策略建议
及时沟通：劳动者、派遣单位和用工单位应在合同到期前后及时沟通续签事宜，明确各自权利义务。这有助于避免潜在的法律风险，并保障各方的权益。
依法维权：劳动者应了解自己的法律权益，如遇违法行为，可依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。在维权过程中，劳动者需保留好相关证据，以便在需要时提供证明。
合规操作：派遣单位和用工单位应遵守法律法规，确保合同续签流程的合法性与规范性。这包括提前通知劳动者续签意向、明确合同条款以及及时补签合同等。
举例说明：假设某员工与派遣公司签订的两年期合同于2023年5月到期，未续签但继续在原岗位工作至8月。在此期间，派遣公司未支付双倍工资差额也未补缴社保费用。员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求派遣公司支付6月至8月的双倍工资差额、补缴社保费用以及支付经济补偿金。若仲裁裁决支持员工的诉求，而派遣公司仍不履行义务，员工可向人民法院提起诉讼以维护自己的合法权益。
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