城管一般无权直接收取私人菜场管理费，但具体情况需结合以下角度分析：

1. 法律授权角度
   根据《行政处罚法》《行政许可法》及地方性法规，城管部门的核心职权集中在市容环境卫生、城市规划管理、工商行政管理（如无照经营查处）等领域。若私人菜场存在占道经营、卫生不达标等违法行为，城管可依法处罚或要求整改，但无权以“管理费”名义收取费用。若地方性法规明确授权城管收取特定费用（如垃圾清运费），则需严格依据法定标准执行，且费用性质应为“行政事业性收费”而非“管理费”。

2. 合同关系角度
   若私人菜场与城管部门通过协议约定管理服务内容（如安保、卫生维护），并明确费用标准，则可能构成民事合同关系。但需注意：

• 合同主体需合法（城管部门需有地方立法或政府授权）；
  
• 费用标准需公开透明，不得强制收取；
  
• 此类协议多见于政府主导的农贸市场改造项目，私人自发形成的菜场通常不适用。

1. 违规收费的救济途径
   若城管部门违规收取管理费，当事人可：
   

• 行政复议：向上一级城管部门或同级政府申请复议，要求撤销收费决定；
  
• 行政诉讼：直接向法院起诉，主张收费行为违法；
  
• 举报投诉：向纪委监委或财政部门举报，要求查处违规收费行为。

建议：若您遇到此类情况，需先核实收费依据（如地方性法规、政府文件或合同），再根据具体情形选择维权方式。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。