结论：员工实习期间没有签合同，老板是否能辞退，需根据员工是处于试用期还是实习关系来具体分析，不能一概而论。
试用期员工情况
合法辞退情形：
- 不符合录用条件：根据《中华人民共和国劳动合同法》（2012修正）第三十九条，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可解除劳动合同。但前提是用人单位需明确录用条件，并能提供充分证据证明员工不符合这些条件。例如，公司可以制定明确的岗位职责和技能要求，并在试用期内对员工进行考核，若员工未能达到这些要求，公司则有权辞退。
- 员工存在过错：同样依据该法条，若员工严重违反规章制度、严重失职、营私舞弊等，给用人单位造成重大损害，用人单位也有权解除劳动关系。比如，员工在试用期内多次迟到早退，严重违反公司考勤制度，或者因个人疏忽导致公司遭受重大经济损失，公司则有权辞退该员工。
违法辞退情形：
- 无正当理由：若无证据证明员工不符合录用条件或存在过错，仅以不合理理由辞退，属违法解除劳动合同。例如，公司仅因个人喜好或偏见而辞退试用期员工，则构成违法辞退。
- 未履行法定程序：即使员工不符合条件，也需遵循法定程序，如说明辞退理由，否则也可能构成违法辞退。公司应当向员工出具书面辞退通知，并明确说明辞退理由和依据。
法律责任：违法辞退试用期员工，根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，员工可要求继续履行合同或要求二倍经济补偿金。同时，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面劳动合同的，还需支付二倍工资。这意味着，如果公司违法辞退试用期员工，不仅可能面临员工要求继续履行合同或支付赔偿金的诉求，还可能因未签订书面劳动合同而面临支付二倍工资的法律责任。
实习生情况
法律关系：公司与实习生之间为实习关系，不受《劳动合同法》直接调整，但应遵守相关法律法规及公平、公正原则，并按实习协议处理。实习关系通常基于双方自愿和协商一致的原则建立，实习生在公司实习期间主要目的是学习和实践，而非提供劳动以获取报酬。
辞退依据：
- 协议约定：若实习协议中有关于辞退的条款，且实习生违反了相关规定，公司可按协议约定辞退。例如，实习协议中明确规定了实习生的考勤制度、工作纪律等，若实习生违反了这些规定，公司则有权按照协议约定辞退实习生。
- 无约定或无故辞退：若实习协议中无明确约定，或实习生未违反任何规定，公司仅因未签订劳动合同而主动辞退，属不合理甚至违法行为。在这种情况下，公司辞退实习生可能缺乏法律依据和合同依据，实习生有权要求公司承担相应的法律责任。
建议：无论是试用期员工还是实习生，公司都应谨慎处理辞退事宜。对于试用期员工，公司应确保有充分证据支持辞退决定，并遵循法定程序；对于实习生，公司应严格遵守实习协议及法律法规，避免无故或违法辞退。如遇复杂情况或争议，建议直接向我咨询以获取准确指导。