在劳动仲裁开庭过程中，口头申请增加仲裁请求原则上是不被允许的，但需结合具体情况和法律规定来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、法律规定层面
根据《劳动人事争议仲裁办案规则》第四十四条的规定，申请人在举证期限届满前可以提出增加或者变更仲裁请求。仲裁庭对申请人增加或者变更的仲裁请求审查后认为应当受理的，应当通知被申请人并给予答辩期，被申请人明确表示放弃答辩期的除外。若申请人在举证期限届满后提出增加或者变更仲裁请求的，则应当另行申请仲裁。这一规定明确了增加仲裁请求的时间限制和程序要求。
二、实践操作与灵活性
尽管法律有明确规定，但在实际操作中，仲裁庭可能会根据具体情况展现出一定的灵活性。不过，这种灵活性并不意味着可以随意在开庭过程中口头申请增加仲裁请求。通常，增加仲裁请求需要遵循以下程序：
书面申请：申请人应以书面形式向仲裁庭提出增加仲裁请求的申请，明确说明增加请求的理由、依据及相关证据材料。口头申请往往不被接受，因为这不利于仲裁程序的规范性和严肃性。
审查与处理：仲裁庭将对增加的仲裁请求进行审查。经审查认为应当受理的，会通知被申请人，并给予其合理的答辩期。若被申请人明确表示放弃答辩期，仲裁庭可继续推进仲裁程序。但这一过程通常需要在举证期限届满前完成。
时间节点考量：若申请人在开庭过程中才提出增加仲裁请求，且没有合理的理由说明为何之前未提出，仲裁庭可能会以影响仲裁程序的正常进行和对方当事人的权益为由，不予允许。此时，申请人可能需要另行申请仲裁以解决新增请求事项。
三、操作建议
提前准备：在申请劳动仲裁时，应尽量全面、准确地提出自己的仲裁请求，并准备好所有相关证据材料。避免在仲裁过程中因遗漏请求而需要增加，从而增加不必要的程序成本。
注意时间节点：务必在规定的举证期限内完成举证工作，并尽量在仲裁庭辩论终结前提出任何追加请求（若确实需要）。若超过此时间节点，尤其是开庭后才提出且无正当理由，仲裁委员会可能会驳回追加请求。
书面申请增加请求：若确实需要增加仲裁请求，应以书面形式向仲裁庭提出申请，并明确说明增加请求的理由、依据及相关证据材料。这有助于仲裁庭对申请进行审查和处理。
及时沟通：在整个仲裁过程中，申请人应及时与仲裁机构保持沟通，了解仲裁程序的最新进展及要求。若遇到复杂情况或需要增加仲裁请求，可及时咨询我以获取具体的法律指导和操作建议。
综上所述，劳动仲裁开庭过程中口头申请增加仲裁请求是不被推荐的。为了确保仲裁程序的顺利进行和自身权益的保障，申请人应提前准备、注意时间节点、以书面形式提出增加请求，并及时与仲裁机构沟通。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。