结论：政府部门向公安机关移送非法采矿线索，若公安机关不立案，该情形是否适用追诉时效，需根据非法采矿行为是否构成犯罪来具体分析。若构成犯罪，则适用刑事追诉时效；若不构成犯罪，则可能涉及行政处罚的追诉时效问题，但行政处罚的追诉时效与公安机关是否立案无直接关联，而是与违法行为被发现的时间有关。
一、若非法采矿行为构成犯罪
刑事追诉时效的适用：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百四十三条的规定，非法采矿罪的法定最高刑为三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。因此，非法采矿罪的刑事追诉期限通常为十年。
- 追诉时效的计算，从犯罪之日起计算；犯罪行为有连续或者继续状态的，从犯罪行为终了之日起计算。在追诉期限以内又犯罪的，前罪追诉的期限从犯后罪之日起计算。
公安机关不立案的影响：
- 公安机关不立案，并不意味着犯罪行为不受追诉。若检察机关认为公安机关应当立案而不立案的，可以要求公安机关说明不立案的理由。理由不成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案。
- 若公安机关确实不立案，且该非法采矿行为构成犯罪，那么在追诉期限内，检察机关或被害人仍可以向人民法院提起自诉，要求追究犯罪嫌疑人的刑事责任。
二、若非法采矿行为不构成犯罪
行政处罚的追诉时效：
- 根据《行政处罚法》的相关规定，对于非法采矿行为，若该行为在二年内未被行政机关发现，则不再给予行政处罚。但值得注意的是，如果非法采矿行为涉及公民生命健康安全、金融安全且产生了危害后果，那么这一追诉时效将延长至五年。
- 行政处罚的追诉时效与公安机关是否立案无直接关联，而是与违法行为被发现的时间有关。因此，即使公安机关不立案，行政机关仍可在追诉时效内对非法采矿行为进行行政处罚。
公安机关不立案的后续处理：
- 若非法采矿行为不构成犯罪，但违反了矿产资源管理等相关法律法规，行政机关应依法进行行政处罚。
- 若行政机关认为公安机关应当介入处理（如涉及治安管理等问题），但公安机关不立案，行政机关可以向上级公安机关或同级人民政府报告，请求协调处理。
建议：
- 对于政府部门而言，在移送非法采矿线索时，应确保线索的真实性和完整性，以便公安机关能够准确判断是否构成犯罪并决定是否立案。
- 对于公安机关而言，在接到政府部门移送的非法采矿线索后，应依法进行审查，并在法定期限内作出是否立案的决定。若决定不立案，应说明理由并通知移送线索的政府部门。
- 若对公安机关的决定有异议，政府部门或相关当事人可以向检察机关申请立案监督或依法提起自诉。
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