当劳务合同快到期而员工生病住院时，这一情况受到《中华人民共和国劳动合同法》的特殊保护，以下是详细的处理方式和相关法律依据：

一、劳动合同自动延续至医疗期结束

核心法律依据：根据《劳动合同法》第四十五条，若劳动合同期满时劳动者正处于规定的医疗期内，那么劳动合同应自动延续至医疗期结束时才终止。

关键点解析：

1. 医疗期的定义：医疗期是指劳动者因患病或非因工负伤，需要停止工作进行治病休息，且在此期间用人单位不得解除劳动合同的时限。

2. 法律效果：即使原合同到期日已过，只要劳动者仍处于医疗期内，劳动关系就持续存在，直至医疗期结束。

3. 例外情况：如果劳动者存在《劳动合同法》第三十九条规定的过错行为（如严重违反用人单位规章制度），或者符合第四十条第一项、第二项规定的无过失性辞退情形（如不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任），用人单位则有权依法解除劳动合同。

二、医疗期内的薪酬福利与合同处理

1. 薪酬福利：在医疗期内，用人单位需继续为劳动者缴纳社会保险，并按规定支付病假工资或疾病救济费。这些费用的标准通常不低于当地最低工资标准的80%，具体比例可能因地方规定而有所不同。

2. 合同处理：由于合同自动延续至医疗期结束，因此在此期间无需就合同续签或终止进行特别处理。但双方应保持沟通，以便在医疗期结束后及时协商后续事宜。

三、医疗期满后的处理方式

1. 能从事原工作或调整岗位：

   • 如果劳动者康复并能胜任原工作，那么劳动合同将继续正常履行，双方可以协商续签事宜。
   • 如果劳动者不能从事原工作，但用人单位能够提供并安排合适的新岗位，且劳动者能够接受并胜任该岗位，那么劳动合同也将继续履行，后续再议续签。

2. 无法从事任何工作：

   • 如果经劳动能力鉴定确认劳动者无法从事任何工作，那么用人单位有权解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需提前三十日以书面形式通知劳动者，或者额外支付一个月工资作为代通知金，并依法支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算标准是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

四、实际操作建议与注意事项

1. 证据留存：劳动者应妥善保存医疗证明、病假单等相关材料，以便在必要时证明自己的医疗期和病情。用人单位也应保留合同期限记录及与劳动者的沟通文件。

2. 协商优先：在医疗期内及医疗期满后，双方应就劳动合同的续延、岗位调整或解除等事宜进行充分协商，以避免争议升级。

3. 法律咨询：如果遇到复杂情况或双方无法达成一致意见，建议及时向专业律师或劳动监察部门寻求帮助，以确保双方权益得到妥善保障。

综上所述，当劳务合同快到期而员工生病住院时，用人单位应遵循相关法律法规，合理处理劳动合同的续延、薪酬福利支付及后续工作安排等问题，确保双方权益得到充分保障。