行政机关和老百姓签订的协议，在特定情况下是可以起诉的。以下是对此问题的详细分析：
一、行政协议的可诉性依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条第十一项的规定，认为行政机关不依法履行、未按照约定履行或者违法变更、解除政府特许经营协议、土地房屋征收补偿协议等协议的，公民、法人或者其他组织有权向人民法院提起行政诉讼。这一条款明确规定了行政协议的可诉性，为公民、法人或其他组织在行政协议纠纷中寻求法律救济提供了法律依据。
二、可起诉的行政协议类型
行政协议的类型多样，包括但不限于以下几种：
- 政府特许经营协议：如污水处理、垃圾处理等领域的特许经营项目协议。
- 土地、房屋征收征用补偿协议：在土地征收、房屋拆迁过程中，与行政机关签订的补偿协议。
- 矿业权等国有自然资源使用权出让协议：涉及国家自然资源的分配和利用的协议。
- 政府投资的保障性住房租赁、买卖协议：保障性住房的租赁、买卖协议。
- 符合法律规定的政府与社会资本合作协议（PPP）：政府与社会资本之间的合作协议。
- 其他行政协议：只要涉及行政机关与公民、法人或其他组织之间的权利义务关系，且符合行政诉讼法的受理条件，均可提起行政诉讼。
三、起诉行政协议的情形
在以下情形下，公民、法人或其他组织可以起诉行政机关：
- 行政机关不依法履行协议：如行政机关未按照协议约定的时间、方式或标准履行义务。
- 行政机关未按照约定履行协议：如行政机关在履行协议过程中存在违约行为，如未支付约定的款项、未提供约定的服务等。
- 行政机关违法变更、解除协议：如行政机关无正当理由单方变更或解除合同，给相对人造成损失的。
四、起诉行政协议的注意事项
在提起行政协议诉讼时，需要注意以下几点：
- 起诉期限：根据行政诉讼法的规定，提起行政诉讼有一定的期限限制。超过期限将可能丧失诉讼权利。因此，在发现行政机关存在违法行为或未按照协议履行义务时，应及时向人民法院提起诉讼。
- 法律适用：由于行政协议兼具行政性与合同性的特点，法院在审理行政协议案件时，既要适用行政诉讼法的规定，也要适用不与行政法、行政诉讼法抵触的民事法律规范关于合同的规定。这要求当事人在提起诉讼时，需明确诉讼请求和法律依据，以便法院准确审理。
- 证据收集：在提起行政诉讼前，当事人应收集并整理好相关证据材料，如协议文本、履行情况记录、沟通记录等。这些证据材料将有助于证明当事人的主张和事实依据。
五、法律救济与保护
通过提起行政诉讼，公民、法人或其他组织可以寻求法律救济和保护。法院将对行政协议的合法性、履行情况进行审查，并根据审查结果作出相应的判决。若行政机关存在违法行为或未按照协议履行义务，法院将责令其改正并承担相应的法律责任，从而有效维护相对人的合法权益。
综上所述，行政机关和老百姓签订的协议在特定情况下是可以起诉的。若您在行政协议方面遇到纠纷或疑问，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。