老百姓不履行和政府签订的行政协议，政府可以采取以下合法途径来维护自身权益：
优先沟通协商：
- 政府相关部门应首先尝试与老百姓进行友好沟通协商，了解其不履行协议的具体原因和困难。通过平和的方式解决问题，有助于消除误解，推动协议的履行。在沟通过程中，政府可以明确指出协议中的具体条款和老百姓的违约行为，同时表达希望按照协议约定解决问题的诉求。
依法催告履行：
- 若沟通协商无果，政府可以依法向老百姓发出催告通知，要求其在一定期限内履行协议义务。催告通知应明确列出老百姓应履行的义务、履行期限以及不履行的法律后果，以确保老百姓清楚了解自己的责任和可能面临的后果。
申请行政强制执行：
- 若老百姓在催告期限内仍未履行协议义务，政府可以依法向人民法院申请行政强制执行。在申请强制执行时，政府需提交充分的证据材料，包括行政协议文本、催告通知、老百姓未履行义务的证明等，以证明老百姓确实存在违约行为且政府已依法履行了催告程序。
- 法院受理申请后，将依法进行审查，并作出是否准予强制执行的裁定。若裁定准予强制执行，政府将有权在法院的监督下，采取必要的强制措施来确保协议的履行。
提起行政诉讼（作为备选方案）：
- 在某些特殊情况下，如果政府认为老百姓的不履行行为严重损害了公共利益或政府权益，且通过其他途径无法有效解决，政府也可以考虑向人民法院提起行政诉讼，要求老百姓履行协议义务并承担违约责任。但通常情况下，政府更倾向于通过非诉讼方式解决此类问题，以维护良好的政民关系。
法律背景与建议：
- 法律背景：行政协议是行政机关与公民、法人或其他组织之间，为实现行政管理目标或公共服务目的，依法订立的具有行政法上权利义务内容的协议。当一方不履行协议义务时，另一方有权依法采取措施来维护自身权益。
- 建议：政府在处理此类问题时，应始终坚持依法行政的原则，确保所有措施都符合法律法规的规定。同时，政府也应注重与老百姓的沟通协商，尽量通过平和的方式解决问题，以维护良好的政民关系。若老百姓确实存在困难无法履行协议义务，政府也可以考虑给予一定的宽限期或提供必要的帮助和支持。
可能面临的法律后果：
- 若老百姓经催告后仍不履行协议义务，且政府依法申请了行政强制执行并获得了法院的准予，那么老百姓将面临被强制执行的风险，包括但不限于财产被查封、扣押、拍卖等。
- 若老百姓的不履行行为构成违约，且给政府造成了损失，那么老百姓还可能需要承担赔偿损失等民事责任。
总结与进一步思考：
面对老百姓不履行和政府签订的行政协议的情况，政府应首先尝试沟通协商，依法催告履行，并在必要时申请行政强制执行。在整个过程中，政府应始终坚持依法行政的原则，确保所有措施都合法合规。同时，政府也应注重与老百姓的沟通协商，尽量通过平和的方式解决问题。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。