核心结论：原厂子注销且行政部门无劳动合同备案，缺劳动合同影响办理退休时，可通过收集其他能证明劳动关系的材料、与行政部门沟通协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径解决。以下是具体分析：

收集其他能证明劳动关系的材料

1. 工资支付记录：如银行工资流水，它能清晰显示工资的发放主体、发放时间、发放金额等信息。如果工资是由原厂子或其关联账户定期发放，这就可以作为证明你与原厂子存在劳动关系的有力证据。
2. 工作证、工作服：工作证上一般会有单位名称、员工姓名、职位等信息；工作服上也可能印有单位标识。这些物品能直观地表明你曾是该厂子的员工。
3. 考勤记录：包括打卡记录、签到表等。考勤记录可以证明你在特定时间段内按照厂子的要求出勤工作，是劳动关系存在的重要体现。
4. 同事证言：找曾经一起在原厂子工作的同事，让他们出具书面证言，证明你在该厂子的工作时间、工作岗位等情况。同事的证言在法律上具有一定的证明力。

与行政部门沟通协商

1. 说明情况：主动与负责办理退休的行政部门沟通，详细说明原厂子已经注销以及劳动合同缺失的情况。向他们提供你收集到的其他能证明劳动关系的材料，争取行政部门的理解和支持。
2. 了解政策：询问行政部门对于这种情况是否有特殊的处理办法或政策依据。有些地区可能会根据实际情况，放宽对劳动合同的要求，允许使用其他材料来证明劳动关系。

申请劳动仲裁

1. 确定仲裁请求：你可以向劳动仲裁机构提出确认劳动关系的仲裁请求。在仲裁申请中，详细陈述你在原厂子的工作情况，并附上你收集到的相关证据。
2. 参与仲裁程序：按照劳动仲裁机构的要求参加仲裁庭审，在庭审过程中，充分阐述自己的观点和理由，出示证据，证明你与原厂子存在劳动关系。如果仲裁裁决确认了劳动关系，你就可以凭借仲裁裁决书去办理退休手续。

提起诉讼

1. 准备诉讼材料：如果对劳动仲裁结果不满意，你可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。准备起诉状，明确诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
2. 参与诉讼过程：在法院审理过程中，积极配合法院的工作，参加庭审，进行举证、质证和辩论。法院会根据双方提供的证据和法律规定，作出判决。如果法院判决确认了劳动关系，你就可以依据判决书办理退休。

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