结论前置：员工因嫖娼被抓，公司是否可以开除，主要取决于公司规章制度的规定以及该行为的性质和影响。若公司规章制度明确规定嫖娼等行政违法行为属于严重违反规章制度的情形，并且这些规章制度已经过民主程序制定并公示告知员工，则公司有权依据规章制度合法解除与员工的劳动关系；否则，公司直接开除员工可能构成违法解除劳动合同，需支付经济赔偿金。
详细分析：
从公司规章制度的角度：
- 如果公司的规章制度中明确规定了嫖娼等行政违法行为属于严重违反规章制度的情形，并且这些规章制度已经过民主程序制定，如经过职工代表大会或全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或职工代表平等协商确定，并且已经向员工公示或告知，那么公司可以依据这些规章制度合法地解除与员工的劳动关系。
- 在这种情况下，公司开除员工的行为是合法的，无需支付经济赔偿金。
从劳动法的角度：
- 根据劳动法的相关规定，公司不能仅因员工受到行政处罚（如嫖娼被罚款）而直接开除员工。只有当员工的行为严重违反公司规章制度，或者构成刑事犯罪时，公司才有权与其解除劳动合同。
- 如果公司规章制度未提及嫖娼此类行为，或规章制度的制定程序存在瑕疵，如未经民主程序、未向员工公示等，公司直接以员工嫖娼被罚款为由开除员工，可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准通常是经济补偿标准的二倍。经济补偿标准则根据员工在公司的工作年限和月工资等因素确定。
从公司形象与利益的角度：
- 嫖娼行为不仅违法，而且可能严重损害公司的声誉和形象。因此，即使公司规章制度中没有明确规定嫖娼为严重违反规章制度的情形，公司也可能基于维护企业形象的考虑而采取相应的管理措施，如警告、调岗、降薪等。但这些措施应在法律允许的范围内，并确保不侵犯员工的合法权益。
建议：
- 对于公司而言，在处理员工嫖娼问题时，应首先审查自身规章制度是否完善，是否明确规定了嫖娼等行政违法行为的处理方式。同时，应严格遵守法律法规和公司规章制度，确保处理过程的合法性和公正性。
- 对于员工而言，应遵守法律法规和公司规章制度，避免参与任何违法违纪行为。如果因个人行为导致被公司开除，且认为公司的开除决定违法或不合理，可以寻求法律援助或向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。
特殊情况说明：
- 如果员工因嫖娼行为被追究刑事责任（虽然嫖娼本身一般不构成刑事犯罪，但可能因组织、强迫、引诱、容留、介绍卖淫等行为而触犯刑法），那么公司有权依据《劳动合同法》的规定，以员工被依法追究刑事责任为由解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。
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