公职人员嫖娼被开除公职是否合法，取决于具体情节和单位规定。

1. 法律未明确规定即时开除：

   • 在我国现行的《中华人民共和国公务员法》以及《中华人民共和国治安管理处罚法》中，并未明确规定公职人员嫖娼后必须立即开除。具体的处理方式主要取决于涉事机关或部门所采取的具体惩戒措施。

2. 可能面临开除公职的情况：

   • 若公职人员的嫖娼行为对社会产生了极其恶劣的影响，或者根据《行政机关公务员处分条例》第三十一条的规定，吸食、注射毒品或者组织、支持、参与卖淫、嫖娼、色情淫乱活动的，可能会给予撤职或者开除处分。这表明，在情节严重的情况下，开除公职是合法的。

3. 不一定开除公职的情况：

   • 如果公职人员因嫖娼问题仅遭受了党内纪律的诫勉、警告或者严重警告等处分，但并不因此而导致其公务员身份的丧失。这意味着，在情节较轻或者单位处理较为宽容的情况下，公职人员可能不会被开除。

4. 单位规定和领导态度的影响：

   • 公职人员嫖娼后是否会被开除，还取决于当事单位领导的处理态度以及单位内部的相关规定。因此，在具体案件中，需要综合考虑多种因素来判断开除公职的合法性。

综上所述，公职人员嫖娼被开除公职是否合法，并非一成不变，而是需要根据具体情节、单位规定以及相关法律法规来综合判断。如果您面临此类问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我将为您提供专业的法律意见和帮助。