结论：下乡督查工作被打伤，即便已经报警并和解，仍然有可能走工伤认定和赔偿流程，但具体能否认定为工伤，需结合实际情况判断。以下从不同角度进行分析：

一、工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》第十四条，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：

1. 在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的：下乡督查工作属于工作范畴，若被打伤是在工作时间和工作场所内，且因工作原因（如执行督查任务时遭遇暴力阻挠）导致，则符合工伤认定的基本条件。
2. 工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的：若被打伤发生在工作时间前后，且是在从事与工作有关的预备性或收尾性工作时（如准备督查资料、整理督查结果等），也可能被认定为工伤。
3. 在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的：若被打伤是因履行工作职责（如督查过程中发现违法行为并制止时遭遇暴力反抗）导致的，明确符合工伤认定的条件。

二、报警和解对工伤认定的影响

报警并和解是处理被打伤事件的一种方式，但它并不直接影响工伤认定的结果。工伤认定主要关注的是伤害是否发生在工作时间、工作场所内，以及是否因工作原因或履行工作职责导致。因此，即便已经报警并和解，只要符合工伤认定的条件，仍然可以申请工伤认定。

三、申请工伤认定的流程

1. 及时报告：用人单位应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。若用人单位未按规定提出工伤认定申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 提交材料：申请工伤认定时，需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。
3. 审核认定：社会保险行政部门在受理工伤认定申请后，会进行调查核实，并根据审核结果作出工伤认定的决定。

四、可能面临的挑战及建议

1. 证据收集：在申请工伤认定时，需提供充分的证据证明伤害是在工作时间、工作场所内，且因工作原因或履行工作职责导致。因此，建议保留好相关证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等。
2. 和解协议的影响：若和解协议中涉及对伤害责任的划分或赔偿事宜的约定，需仔细审查其是否影响工伤认定的申请。一般来说，和解协议不会改变工伤认定的法律事实，但可能影响赔偿金额的确定。
3. 及时咨询：由于工伤认定涉及复杂的法律程序和证据要求，建议及时咨询专业律师，以确保申请流程的顺利进行和权益的充分保障。

总结来说，下乡督查工作被打伤，即便已经报警并和解，仍然有可能走工伤认定和赔偿流程。但具体能否认定为工伤，需结合实际情况和工伤认定的条件来判断。若您面临此类情况，建议及时收集证据并咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。