结论：公司第一个月没有休息是否合法，需根据具体情况判断，但原则上应保障劳动者的休息权利。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况下的合法性分析
休息权保障：
- 根据我国《劳动法》第三十八条，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。这是劳动者的基本权利，任何单位和个人都不得侵犯。
- 若公司首月安排劳动者连续工作无休息，即违反了此条规定，侵犯了劳动者的休息权，因此是不合法的。
加班及补贴规定：
- 若首月工作涉及加班，根据《劳动法》第四十四条，用人单位需按相应标准支付高于正常工作时间的工资报酬。具体为：延长工作时间支付不低于工资的150%；休息日工作且不能调休支付不低于工资的200%；法定休假日工作支付不低于工资的300%。
- 若公司未支付加班补贴，同样构成违法。
二、特殊情况下的合法性分析
有约定从约定：
- 若劳动合同、员工手册或集体合同中明确约定了首月无休息（但需注意，这种约定不得违反法律法规的强制性规定，且需经劳动者同意），则该约定合法有效。
- 特殊行业或岗位因工作性质或业务需求，在招聘时明确说明首月特殊安排（如连续工作无休息）且劳动者接受，亦可按约定执行。但这种情况下，公司应提供其他形式的补偿，如调休、加班费或特殊津贴等。
无约定或约定不明：
- 在无约定或约定不明确的情况下，劳动者应享有正常的休息权利。若公司未安排休息且未支付加班补贴，则构成违法。
特殊行业或情况：
- 对于抢险救灾、应急救援等特殊行业，虽可能无法保证正常休息时间，但应有其他形式的补偿措施，如荣誉表彰、特殊津贴等。
- 临时性、季节性或项目性工作，需事先与劳动者协商确定工资待遇和补贴问题，并确保不违背法律法规和公序良俗。
三、维权途径与建议
- 沟通协商：若公司首月未安排休息且未支付加班补贴，劳动者有权与公司沟通协商，要求补发休息补贴或加班费。
- 投诉举报：若公司不予理会，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，要求劳动监察部门介入调查并处理。
- 劳动仲裁：若投诉无果，劳动者可依法申请劳动仲裁，通过法律途径维护自身合法权益。
举例说明：假设小张在一家公司首月工作，公司未安排任何休息日且未支付加班费。小张可以首先与公司沟通协商，要求补发加班费或安排调休。若公司拒绝，小张可以向当地劳动监察部门投诉，或依法申请劳动仲裁以维护自身权益。
总结：公司第一个月没有休息是否合法，需根据具体情况判断。在一般情况下，公司应保障劳动者的休息权利并支付加班补贴。若公司违反相关规定，劳动者有权通过沟通协商、投诉举报或劳动仲裁等途径维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。