打人被拘留的时机并非固定，可能是当时拘留，也可能是次日或之后拘留，这主要取决于案件的具体情况和法律程序的要求。以下是对此问题的详细解析：

1. 当场拘留的情况：

   • 当打人行为情节严重，如造成他人轻伤及以上后果，或者存在继续实施暴力行为、当事人逃跑、毁灭证据等紧急情形时，公安机关有权依据《中华人民共和国治安管理处罚法》和《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，立即对行为人采取拘留措施。
   • 若现场证据充分，例如民警亲眼目睹了打人过程，或者有清晰的监控视频、众多可靠的证人证言，且符合拘留条件，公安机关可能会当场实施拘留。

2. 过后拘留的情况：

   • 打人案件往往涉及复杂的现场情况，需要公安机关进行调查以明确事件的起因、经过和结果，并收集相关证据。这一过程可能包括询问当事人和证人、调取监控录像、进行伤情鉴定等。只有在事实清楚、证据确凿后，公安机关才能决定是否拘留及适用何种拘留措施。
   • 伤情鉴定是判断打人后果的重要依据。若当时无法确定伤者伤情是否达到轻伤及以上程度，公安机关会先让双方当事人就医治疗、配合调查，待伤情鉴定结果出来后，再根据结果决定是否拘留。
   • 对于因民间纠纷引起的轻微打人斗殴，公安机关可尝试调解处理。若双方达成调解协议，公安机关可能不予处罚；但若调解未达成协议或协议后不履行，公安机关将依法对违反治安管理行为人给予处罚，此时可能会进行拘留。

拘留类型方面：

• 行政拘留：适用于打人未构成犯罪但违反治安管理规定的情形，期限一般不超过十五日。
• 刑事拘留：当打人行为涉嫌刑事犯罪时，如故意伤害罪等，公安机关会对涉事人员进行刑事拘留，其期限会根据案件的复杂程度和侦查需要来确定。

建议与提醒：

• 若您或他人涉及打人事件，建议积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。
• 打人行为可能带来严重的法律后果，包括行政处罚和刑事处罚。因此，请务必遵守法律法规，避免参与打架斗殴等违法行为。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律意见。