结论前置：患精神病嫖娼被行政拘留后，若认为该行政拘留决定侵犯了其合法权益，且在精神正常、具备完全民事行为能力的情况下，可以在法定期限内向相关行政机关提出行政复议申请。若在作出行政拘留决定时，当事人因精神病发作不具备完全民事行为能力，则需由其法定代理人代为申请行政复议。
详细分析如下：
一、行政复议的法律依据与条件
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益时，有权向行政机关提出行政复议申请。在嫖娼被行政拘留的情形下，这一原则同样适用。但前提是，该公民在申请行政复议时需具备完全民事行为能力，能够清晰表达自己的意愿和诉求。若因精神病发作导致无法独立行使权利，则需由其法定代理人代为申请。
二、申请行政复议的时机与条件
已作出处罚决定的情况：
- 如果公安机关在查处嫖娼行为后，已经作出了行政拘留等处罚决定，并且当事人（或其法定代理人）认为该决定存在事实认定错误、适用法律错误或程序违法等问题，那么有权在收到处罚决定书之日起60日内（法律规定的申请期限超过60日的除外）向上一级公安机关或者同级人民政府提出行政复议申请。
- 申请时，需提交一式三份的复议申请书，并附上个人身份证（或法定代理人身份证）等相关材料。
尚未作出处罚决定或不具备完全民事行为能力的情况：
- 如果公安机关在查处过程中尚未作出正式的处罚决定，或者当事人在作出处罚决定时因精神病发作不具备完全民事行为能力，那么此时不能直接由当事人申请行政复议。若需申请，应由其法定代理人代为进行。
- 法定代理人在代为申请行政复议时，需提供证明其法定代理身份的相关材料，如户口本、监护关系证明等。
三、行政复议的申请流程与要求
- 申请期限：根据《行政复议法》第九条，当事人（或其法定代理人）应自知道该行政拘留决定之日起六十日内提出复议申请（法律规定的期限超过六十日的除外）。若因不可抗力或其他正当理由耽误申请期限，期限可自障碍消除之日起继续计算。
- 申请方式：可以选择书面或口头方式申请行政复议。书面申请需提交行政复议申请书及相关材料；口头申请则应由行政复议机关当场记录申请人的基本情况、复议请求及主要事实和理由。
- 受理机关：对于县级以上地方各级人民政府工作部门作出的行政拘留决定，可以向该部门的本级人民政府或上一级主管部门申请行政复议。例如，若被县级公安局行政拘留，可向县政府或市公安局申请复议。
- 申请材料：申请人需提交行政复议申请书、身份证明材料（或法定代理证明材料）等相关文件，以证明其身份及复议请求的合理性。
四、复议期间与执行问题
- 执行问题：申请行政复议并不必然导致行政拘留决定的停止执行。但根据《治安管理处罚法》第一百零七条，被处罚人可以申请暂缓执行行政拘留，需满足一定条件并提供担保人或交纳保证金。若当事人因精神病无法独立申请，可由其法定代理人代为申请。
- 后续救济：若对行政复议决定不服，还可以依法向人民法院提起行政诉讼，以进一步维护自己的合法权益。
法律警示与建议：
嫖娼是违法行为，应当受到法律的制裁和惩罚。尽管当事人（或其法定代理人）有权申请行政复议，但这并不意味着可以逃避法律责任。因此，请务必遵守法律法规，远离任何违法活动。同时，若认为行政拘留决定存在错误或不当，应及时通过合法途径维护自己的权益。
在处理此类案件时，建议当事人（或其法定代理人）咨询专业律师，以便更准确地了解自己的权利和义务，以及行政复议的具体流程和要求。若你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。