结论：嫖娼被事业单位开除后，一般是可以申请行政复议的，但能否成功取决于具体情形和证据。

分析说明：

1. 行政复议的适用性：

   • 行政复议是公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益时，依法向行政复议机关提出申请，由受理申请的行政复议机关对原具体行政行为依法进行审查并作出决定的活动。
   • 在事业单位开除员工的情境中，如果员工认为开除决定是基于错误的事实认定或违反了相关法律法规，那么该员工有权向相关部门申请行政复议。

2. 嫖娼行为的法律后果：

   • 嫖娼是违法行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，会受到相应的行政处罚。
   • 事业单位作为公共机构，对员工的道德行为有较高要求，嫖娼行为很可能被视为严重违反单位规章制度或职业道德，从而成为开除的理由。

3. 行政复议的成功要素：

   • 事实认定错误：如果员工能证明开除决定所依据的事实（如嫖娼行为）存在错误或证据不足，那么行政复议有可能成功。
   • 程序违法：如果开除决定在作出过程中违反了法定程序，如未给予员工充分的陈述和申辩机会，那么行政复议也可能成功。
   • 法律依据不足：如果开除决定缺乏明确的法律依据或违反了相关法律法规的规定，员工同样可以申请行政复议并寻求撤销或变更该决定。

4. 实际操作建议：

   • 收集证据：员工在申请行政复议前，应尽可能收集与开除决定相关的证据，包括但不限于单位规章制度、开除通知、相关证人证言等。
   • 撰写复议申请：员工应撰写一份详细的行政复议申请，明确阐述自己的诉求、事实和理由，并附上相关证据材料。
   • 提交申请：员工应将行政复议申请提交给有权受理的行政复议机关，并按照要求缴纳相关费用（如有）。
   • 等待结果：提交申请后，员工应耐心等待行政复议机关的审查结果，并根据结果采取相应的后续行动。

特殊场景提醒：

• 如果员工在嫖娼行为被查处后，已经接受了相应的行政处罚（如罚款、拘留等），并且单位在开除决定中明确引用了这些处罚作为依据，那么员工在申请行政复议时可能需要更加谨慎地考虑自己的诉求和证据是否充分。

后续行动建议：

• 如果行政复议结果不满意，员工还可以考虑通过行政诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或发表不当言论，以免对自己的权益造成进一步损害。

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