结论：行政案件调查终结后未下发处理决定书但行政机关给予了赔偿，这一行为是否违法，需分情况讨论，不能一概而论。

分析：

1. 行政机关有法定职责需作出处理决定：

   • 根据一般的行政程序原则，行政机关在调查终结后，如果认为存在违法行为或需要作出某种行政行为，应当依法作出相应的处理决定书，明确行政行为的种类、依据、理由和救济途径等。这是行政机关履行法定职责、保障公民、法人或其他组织合法权益的重要体现。

2. 未下发处理决定书但给予赔偿的可能情况：

   • 协商一致赔偿：在某些情况下，行政机关可能与当事人通过协商达成一致，同意给予赔偿以解决争议，而无需正式下发处理决定书。这种协商解决的方式在行政争议中并不罕见，尤其是当双方对事实和法律适用没有太大争议时。然而，即使如此，行政机关也应当确保赔偿的合法性和合理性，并尽可能以书面形式记录协商过程和结果，以避免后续纠纷。
   • 程序瑕疵但实质解决争议：另一种可能是行政机关在程序上存在瑕疵，如未正式下发处理决定书，但实质上已经通过赔偿解决了争议。这种情况下，虽然程序上可能存在问题，但如果赔偿是合法、合理且双方自愿接受的，那么从实质正义的角度来看，可能并不构成严重的违法行为。然而，这并不意味着行政机关可以忽视程序要求，因为程序正义同样是法治原则的重要组成部分。

3. 违法性的判断：

   • 如果行政机关未下发处理决定书的行为违反了法律、法规或规章的明确规定，且该规定属于强制性规定（即必须遵守的规定），那么该行为可能构成违法。例如，如果某部法律明确规定行政机关在调查终结后必须作出处理决定书，而行政机关未予遵守，则可能面临法律责任。
   • 如果未下发处理决定书的行为并未违反法律、法规或规章的明确规定，或者虽然违反了规定但该规定属于非强制性规定（即可以遵守也可以不遵守的规定），且该行为并未对当事人的合法权益造成实质性损害，那么该行为可能不构成违法。但这种情况下的行为仍然可能受到行政机关内部纪律或道德规范的约束。

建议：

• 如果您认为行政机关的行为存在违法或不当之处，且该行为已经对您的合法权益造成了损害，您可以考虑通过行政复议或行政诉讼等法律途径来维护自己的权益。
• 在采取法律行动之前，建议您先收集相关证据材料，如行政机关的赔偿协议、调查记录等，以便在复议或诉讼过程中证明自己的主张。
• 如果您对行政程序或法律适用存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。