针对您提出的“初中教师抑郁是否可以申请不坐班”的问题，这主要取决于您所在学校的具体管理制度以及您个人的实际情况。以下是我根据一般情况和您提供的参考信息，给出的详细解答：
首先，需要明确的是，坐班制是许多学校对教职工的一项基本要求，它旨在确保教职工能够按时到校，履行教学和管理职责，参与学校的各项活动。然而，当教职工因健康原因，如抑郁等心理问题，无法正常坐班时，他们确实有权向学校提出申请，寻求特殊的安排。
申请不坐班的一般流程：
提交书面申请：您需要向学校提交一份详细的书面申请，说明您的健康状况（如抑郁症状）、无法坐班的具体原因、以及您计划如何完成本职工作（如远程教学、在线辅导等）。
提供医疗证明：为了支持您的申请，您可能需要提供来自专业医疗机构或医生的证明，证明您的健康状况确实需要特殊安排。
学校审批：学校会根据您的申请、医疗证明以及学校的管理制度进行审批。审批过程中，学校可能会与您进行进一步的沟通，了解您的具体需求和计划。
校内公示（如适用）：一些学校在批准教职工的特殊安排后，会进行校内公示，以确保透明度和公平性。
结合您提供的参考信息：
在南港镇中心学校的管理制度中，虽然并未直接提及抑郁等心理问题可以申请不坐班，但提到了“教职工因病、私事等均应先办理好调课工作填单请假”。这意味着，如果您的抑郁症状被视为一种疾病，您可能可以按照病假流程进行申请。
淮北市第二中学的教职工请假制度则更为明确，指出“因故不能坐班的应向学校提出书面申请，批准后校内公示，在所申请的期限内可以不坐班，但必须完成本职工作”。这为您提供了直接的申请途径。
建议：
详细了解学校制度：首先，您需要详细了解您所在学校的具体管理制度，特别是关于请假和不坐班的相关规定。
与学校沟通：与学校的管理层或人事部门进行沟通，说明您的健康状况和需求，寻求他们的理解和支持。
准备充分材料：在提交申请时，确保您准备了充分的医疗证明和其他相关材料，以支持您的申请。
考虑替代方案：如果学校无法批准您完全不坐班，您可以考虑与学校协商其他替代方案，如灵活的工作时间、远程教学等。
总之，初中教师因抑郁等健康原因申请不坐班是有可能的，但具体是否批准取决于学校的制度和您的个人情况。我建议您与学校进行详细沟通，并按照学校的流程提交申请。