结论前置：对方要求公安撤销案件的处理方式需分情况讨论，具体如下：
- 若案件处于行政处罚阶段（如治安拘留、罚款）
根据《治安管理处罚法》第九条，因民间纠纷引起的打架斗殴，双方可申请调解。若达成调解协议并履行，公安机关可依法不予处罚。但需注意：
- 调解需双方自愿，且不涉及严重暴力（如持械伤人、轻伤以上）；
- 若对方反悔或调解未达成，公安机关仍可依法处罚；
- 菜刀属于管制器具，持械打架可能被认定为“情节较重”，处罚起点更高（如10日以上拘留）。
- 若案件已进入刑事程序（如涉嫌故意伤害罪）
根据《刑事诉讼法》第十六条，刑事案件撤销需符合法定情形（如情节显著轻微、已过追诉时效、犯罪嫌疑人死亡等）。对方无权直接要求撤销，但可通过以下途径影响案件走向：
- 刑事和解：若造成轻伤以下，双方可和解，公安机关可建议检察院从宽处理（如不起诉或缓刑）；
- 证据不足：若证据无法证明犯罪事实，检察院可能作出不起诉决定；
- 自首/立功：若主动投案或协助抓捕其他犯罪嫌疑人，可从轻或减轻处罚。
- 对方要求撤销的常见误区
- 误解“调解”与“撤销”：调解成功仅可能免除行政处罚，不等于撤销案件；刑事案件调解后仍可能被追诉，只是量刑可能减轻；
- 忽视“持械”情节：菜刀作为凶器会加重案件性质，即使对方谅解，公安机关仍可能依法处理；
- 错误认为“私了”有效：刑事案件由国家追诉，私下达成的赔偿协议不影响司法程序，但可作为量刑参考。
行动建议：
- 立即停止与对方的私下协商，避免被认定为“逃避处罚”；
- 收集证据（如现场监控、证人联系方式、伤情照片等）以证明自身行为性质；
- 主动配合公安机关调查，如实陈述事实，争取从轻处理；
- 若对处罚或立案有异议，可依法申请行政复议或向检察院申诉。
提示：持械打架的法律风险较高，建议优先通过合法途径解决纠纷。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。