结论前置：私人店铺雇佣未成年人且未签订劳动合同，这一行为涉及违法性需分情况讨论，主要取决于未成年人的年龄以及是否符合法律规定的用工条件。

一、关于未成年人用工的合法性

1. 合法雇佣未成年人的情况：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，已满十六周岁未满十八周岁的未成年人，如果以自己的劳动收入为主要生活来源，且从事的是与其年龄、体力相适应的工作，那么是可以被合法雇佣的。但即便如此，用人单位（包括私人店铺）也应当与其签订劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 举例：一个十七岁的青少年，在一家私人店铺从事简单的销售或清洁工作，且该工作不超出其年龄和体力范围，那么这种雇佣关系在签订劳动合同的情况下是合法的。

2. 非法雇佣未成年人的情况：

   • 未满十六周岁的未成年人：根据法律规定，任何组织或者个人不得招用未满十六周岁的未成年人，国家另有规定的除外。如果私人店铺雇佣了未满十六周岁的未成年人，无论是否签订劳动合同，都是违法的。
   • 从事禁忌劳动：即使未成年人已满十六周岁，但如果其从事的是法律、行政法规规定禁止从事的劳动（如矿山井下、有毒有害等），那么这种雇佣关系也是违法的。

二、关于未签订劳动合同的违法性

• 无论雇佣的是成年人还是符合法定条件的未成年人，用人单位（包括私人店铺）都应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这是《中华人民共和国劳动合同法》的明确规定，旨在保护劳动者的合法权益。
• 法律责任：如果私人店铺未与劳动者签订劳动合同，且自用工之日起超过一个月但不满一年，那么应当向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。如果自用工之日起满一年仍未签订劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位不得随意解除劳动关系，并需承担与正式合同相同的法律责任。

三、综合建议

1. 对于私人店铺：

   • 在雇佣员工时，务必确认其年龄和身份，确保符合法律规定的用工条件。
   • 及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，避免法律风险。
   • 如果对用工法律有疑问或遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律建议。

2. 对于未成年人及其监护人：

   • 如果未成年人希望工作，应确保其已满十六周岁且从事的是与其年龄、体力相适应的工作。
   • 监护人应监督用人单位是否与未成年人签订了劳动合同，并保护其合法权益不受侵害。
   • 如果发现用人单位存在违法行为或侵犯未成年人权益的情况，应及时向相关部门投诉或寻求法律帮助。

总之，私人店铺雇佣未成年人且未签订劳动合同的行为是否违法，需根据未成年人的年龄以及是否符合法律规定的用工条件来判断。但无论如何，签订书面劳动合同都是用人单位的法律义务，也是保护劳动者权益的重要措施。