您好，非常理解您在单位辛勤工作10年后突然被辞退的困惑和不安。针对您的情况，我将结合相关法律法规和实际案例，为您详细解答如何处理这一问题。
首先，需要明确的是，“在同一单位干满10年”并不意味着您就拥有了“终身合同”或“铁饭碗”。实际上，我国法律中并没有“终身合同”的概念，您可能指的是“无固定期限劳动合同”。这种合同只是没有明确的终止时间，但在符合法定条件时，用人单位依然可以依法解除。
接下来，我们分析您被辞退的合法性。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，必须符合法定情形，并遵循法定程序。如果用人单位以您“严重失职给公司造成重大损害”为由辞退您，那么他们必须提供相应的证据来证明这一点。如果无法提供证据，或者未经过将辞退理由通知工会的法定程序，那么这种辞退就可能是违法的。
针对您的情况，我建议您采取以下步骤来维护自己的合法权益：
收集证据：首先，您需要收集所有与辞退相关的证据，包括辞退通知书、工资单、工作记录、与公司的沟通记录等。这些证据将有助于您证明自己的权益和公司的违法行为。
与公司协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与公司进行协商，要求公司支付欠发的工资及相应的经济补偿金。如果公司愿意协商并达成一致，那么问题可能得到快速解决。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，您需要提交证据并陈述自己的诉求。仲裁委员会将根据事实和法律进行裁决。
提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出最终判决。
关于经济补偿金的标准，根据法律规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，那么支付经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
最后，我想强调的是，职场权益需要自己守护。在面对职场疑问和纠纷时，不要害怕、不要退缩，要勇敢地拿起法律武器来维护自己的合法权益。希望我的解答能够对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。