核心结论：工程未拿到承包款，承包方自己垫付农民工工资且已过去十年，处理方式需分情况讨论，主要有通过协商、诉讼等途径追讨垫付款项，但可能面临诉讼时效等挑战。以下是具体情况分析：

1. 关于诉讼时效问题
   • 根据《中华人民共和国民法典》规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。不过，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
   • 在您这个案例中，已经过去十年，如果在这十年间您没有向发包方主张过权利，也没有诉讼时效中断、中止等法定事由，那么从诉讼时效角度看，您直接向法院起诉要求发包方支付您垫付的农民工工资，可能会面临对方提出诉讼时效抗辩，导致您丧失胜诉权。但如果存在一些特殊情况，比如您在这十年间一直有向发包方催讨款项，有相关的书面证据（如催款函、聊天记录等）或者发包方有书面承诺还款等，就可能构成诉讼时效中断，诉讼时效重新计算，这样您仍然可以在诉讼时效期间内主张权利。
2. 协商解决途径
   • 尽管诉讼时效可能存在一定问题，但您仍然可以尝试与发包方进行协商。您可以整理好相关的证据材料，如您垫付农民工工资的凭证（工资发放记录、农民工签字确认的工资表等）、工程相关的合同、协议等，向发包方说明情况，要求其支付您垫付的款项。协商的好处在于可以避免漫长的诉讼程序，节省时间和精力，如果双方能够达成一致，还可以签订还款协议，明确还款金额、还款时间等条款，以保障您的权益。
3. 诉讼解决途径（在诉讼时效可能存在障碍但有特殊情况时）
   • 如果协商无果，且您认为存在诉讼时效中断等特殊情况，您可以向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要向法院提交充分的证据来证明您与发包方之间的债权债务关系，即您为发包方垫付了农民工工资，以及诉讼时效中断等相关事实。法院会根据您提供的证据和法律规定进行审理和判决。如果法院认定您的诉求合理合法，即使超过了常规的三年诉讼时效，但因存在特殊情况，也可能会支持您的诉讼请求，判决发包方支付您垫付的款项。
4. 其他途径
   • 如果发包方是政府相关部门或者国有企业，您还可以考虑通过行政投诉等方式来解决问题。您可以向相关的行政主管部门反映情况，要求其督促发包方支付款项。行政主管部门在接到投诉后，会进行调查核实，并根据相关规定进行处理。

建议：由于时间跨度较长，情况可能较为复杂，建议您尽快收集和整理相关证据材料，如上述提到的工资发放凭证、工程合同、催款记录等，以便在后续处理过程中能够充分证明您的权益。如果您对具体的处理方式还有疑问或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况为您提供详细的法律建议。