结论前置：公司不出具离职证明导致您延迟入职新公司，公司的行为是违法的，且您有权依法要求公司承担相应责任。

法律背景与依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定确保了劳动者在离职后能够顺利办理相关手续，保障其合法权益。若公司违反此规定，未向劳动者出具离职证明，将承担法律责任。

公司不出具离职证明的影响

1. 入职新公司受阻：新单位在入职时通常需要离职证明作为入职材料，以确认求职者与上一家公司已解除劳动关系，无劳务纠纷。若缺乏此证明，您可能无法顺利入职新公司，导致经济损失。
2. 办理失业登记和领取失业金受阻：离职证明也是办理失业登记、领取失业金等手续时必不可少的材料。若因公司未出具离职证明而无法办理这些手续，您可能因此遭受经济损失。
3. 社保关系转移受阻：离职证明对于办理社保关系转移也是必要的。若因公司未出具离职证明而导致社保关系无法及时转移，您可能面临社保断缴等问题，进而影响您的社保权益。

公司应承担的法律责任

1. 行政责任：根据《劳动合同法》第八十九条，劳动行政部门有权责令公司限期改正，即要求公司必须为您出具离职证明。这是对公司违法行为的直接行政制裁。
2. 赔偿责任：若因公司未出具离职证明导致您遭受损害，如无法入职新单位、无法享受失业保险待遇等，公司需承担相应的赔偿责任。这种赔偿包括但不限于您的工资收入损失、社会保险待遇损失等。

您的应对策略

1. 友好协商：首先，您可以尝试与公司进行友好协商，明确要求其按照法律规定出具离职证明。在协商过程中，您可以引用相关法律条款，说明公司的违法行为及其可能承担的法律责任，以促使公司尽快出具离职证明。
2. 向劳动行政部门投诉：若协商无果，您可以向当地的劳动行政部门投诉。劳动行政部门将介入调查，并责令公司改正违法行为。若公司仍拒不改正，劳动行政部门将依法对其进行处罚。
3. 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果投诉仍未能解决问题，您可以直接向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求公司出具离职证明并赔偿因此造成的损失。对仲裁结果不满意的，您还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自己的合法权益。

示例说明

假设您因公司未出具离职证明而无法入职新公司，导致您失去了一个月的工资收入。在这种情况下，您可以要求公司赔偿您这一个月的工资损失。若公司拒绝赔偿，您可以通过上述途径维护自己的权益。

总结：公司不出具离职证明导致您延迟入职新公司是违法的，且公司应承担相应的法律责任。您应充分了解自己的权益和法律规定，积极采取措施维护自身权益。在必要时，可直接向我咨询，我会为您提供专业的法律帮助。