公司不肯出具离职证明是违法的。以下从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度进行详细分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的明确规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定确保了劳动者在离职后能够顺利办理相关手续，保障其合法权益。离职证明对于劳动者而言至关重要，它是劳动者与原用人单位劳动关系终结的官方凭证，具有多重重要作用，如入职新单位、领取失业保险金、办理社保和档案转移手续等。
二、法律建议
面对公司不肯出具离职证明的情况，劳动者可以采取以下策略来维护自己的权益：
友好协商：首先尝试与公司进行友好协商，明确说明法律规定及自身需求，要求公司依法出具离职证明。在协商过程中，可以引用《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的相关规定，以增强说服力。
向劳动行政部门投诉：若协商无果，劳动者可以向当地的劳动行政部门投诉。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，劳动行政部门将责令用人单位改正；若给劳动者造成损害，用人单位还需承担赔偿责任。在投诉时，劳动者应提供相关证据，如与公司协商的记录、劳动合同等，以支持自己的主张。
申请劳动仲裁或提起诉讼：在协商和投诉均无法解决问题的情况下，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满意的，还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自己的合法权益。在申请仲裁或提起诉讼时，劳动者应准备充分的证据材料，如离职证明的申请记录、公司的拒绝回复、因缺少离职证明而遭受的损失证明等。
三、可能的法律后果
若公司拒绝出具离职证明，可能会给劳动者带来多方面的不利影响，并需承担相应的法律责任：
影响劳动者就业：新单位入职时通常需要离职证明作为入职材料，缺乏此证明可能导致劳动者无法顺利入职，进而造成经济损失。
阻碍失业保险金领取：失业人员申领失业保险金时，离职证明是必需的申请材料之一。缺乏离职证明可能导致劳动者无法及时申领到失业保险金，影响其经济来源和生活保障。
社保和档案转移受阻：在办理社会保险减员、个人档案迁移等手续时，离职证明同样不可或缺。无离职证明可能导致社保和档案转移手续无法顺利进行，影响劳动者的社会保障权益。
公司承担行政责任和赔偿责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，劳动行政部门有权责令用人单位限期改正，即要求用人单位必须为劳动者出具离职证明。若因用人单位未出具离职证明导致劳动者遭受损害，如无法入职新单位、无法享受失业保险待遇等，用人单位需承担相应的赔偿责任。这种赔偿包括但不限于劳动者的工资收入损失、社会保险待遇损失等。
综上所述，公司不肯出具离职证明是违法的，且可能对劳动者的多项权益造成损害。劳动者应充分了解自己的权益和法律规定，积极采取措施维护自身权益。在必要时，可向我进一步咨询或通过法律途径解决争议，确保自己的合法权益得到有效保护。