若他人未经授权，擅自使用你的建筑公司名义与其他公司签订合同，并在合同履行过程中出现事故，你的建筑公司可能会面临以下几方面的损害：

1. 民事责任风险：

   • 表见代理或无权代理责任：如果第三人有理由相信行为人有代理权（如持有公司公章、合同书等），则可能构成表见代理，公司需承担合同责任。即使不构成表见代理，若公司事后追认或行为人构成无权代理且公司存在过错（如管理疏漏），公司也可能需承担一定责任。
   • 侵权责任：若事故导致第三方人身或财产损害，且行为人行为构成侵权，公司可能因管理不善或表见代理等被卷入侵权纠纷，需承担连带赔偿责任。例如，若行为人以公司名义签订施工合同后，因施工不当导致第三方受伤，公司可能需承担部分或全部赔偿责任。

2. 行政责任风险：

   • 违规处罚：若行为人以公司名义从事违法活动（如无资质施工、违反安全生产规定等），公司可能因“被挂靠”或管理失职被行政机关处罚，包括罚款、吊销资质、停业整顿等。例如，若行为人以公司名义承接工程但未取得相应资质，公司可能因“出借资质”被处罚。
   • 信誉损失：行政处罚会直接影响公司信誉，导致客户流失、合作中断，甚至影响公司参与招投标等市场活动。

3. 刑事责任风险（极端情况）：

   • 单位犯罪：若行为人以公司名义实施犯罪（如重大责任事故罪、工程重大安全事故罪等），且公司存在直接责任人员或管理失职，公司可能构成单位犯罪，需承担刑事责任。例如，若行为人因施工严重违反安全管理规定导致重大事故，公司直接负责的主管人员可能被追究刑事责任。
   • 个人犯罪牵连：即使公司不构成单位犯罪，若行为人因个人犯罪（如伪造公司印章罪）被追究刑事责任，公司也可能因涉及案件调查而遭受声誉损害。

4. 内部管理风险：

   • 员工或关联方违规：若事故因公司内部员工或关联方（如分公司、子公司）违规操作引发，公司需承担内部管理责任，包括对受害者的赔偿、对违规人员的追责等。
   • 合同纠纷：若事故导致合同无法履行或履行不符合约定，公司可能面临合同相对方的索赔，包括违约金、损失赔偿等。

建议措施：

• 立即采取法律行动：若发现他人冒用公司名义签订合同，应立即向公安机关报案，并通知合同相对方，声明合同无效或公司不承担责任。
• 加强内部管理：完善公司公章、合同书等重要文件的管理制度，防止被非法获取或使用；定期对员工进行法律培训，提高风险意识。
• 咨询专业律师：针对具体案件情况，咨询专业律师，制定应对策略，最大限度减少公司损失。

若您遇到此类问题，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您提供详细法律建议。