公司让员工连续加班在大多数情况下是不合法的，但需根据具体情况判断。以下是对这一问题的详细分析：

一、合法加班的情形

1. 协商一致与时长限制：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》第四十一条，用人单位因生产经营需要，经与工会和劳动者协商后，可以延长工作时间。这意味着，加班必须基于与员工的协商一致，不能单方面强制要求。
   • 一般每日加班不得超过一小时；在保障劳动者身体健康的条件下，因特殊原因需延长工作时间的，每日加班不得超过三小时，且每月累计不得超过三十六小时。若公司安排的加班时间超出这一限制，则属于违法行为。

2. 特殊情况下的加班：

   • 在自然灾害、事故等紧急情况下，威胁到人民安全健康和国家资财时，员工不得拒绝加班。
   • 生产设备、交通运输线路、公共设施发生故障，影响生产和公众利益时，必须及时抢修，员工应配合加班。
   • 为完成国防紧急任务或上级安排的其他紧急生产任务，以及商业、供销企业在旺季的紧急任务时，也可安排加班。但这些特殊情况下的加班，公司应事后给予员工相应补偿。

二、不合法加班的情形

1. 未经协商或超出法定时长：

   • 公司未与工会和劳动者协商，擅自要求员工加班，属于违法行为。
   • 即使协商，但经常安排员工加班超过每月三十六小时的上限，同样违法。

2. 不支付或不足额支付加班费：

   • 根据《劳动法》第四十四条，用人单位安排加班需支付加班费。延长工作时间的，支付不低于工资的150%的工资报酬；休息日安排工作且不能补休的，支付不低于工资的200%的工资报酬；法定节假日安排工作的，支付不低于工资的300%的工资报酬。
   • 若公司未支付或支付标准低于法定标准，则属于违法行为。

三、员工权益保护

• 拒绝不合理加班：员工有权拒绝公司不合理的加班要求，特别是当加班时间超出法定限制或未支付加班费时。
• 投诉举报：若公司违反规定强制员工加班或不支付加班工资，员工有权向当地劳动监察部门投诉举报。劳动监察部门将对公司进行调查和处理，并可能对公司处以罚款。
• 申请劳动仲裁：如投诉举报未能解决问题，员工还可依法申请劳动仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。

四、实际操作建议

• 与公司沟通协商：当面对公司连续加班的要求时，员工应首先尝试与公司进行沟通协商，明确表达自己的权益和关切。
• 保留证据：在协商过程中，员工应保留好相关证据，如加班通知、工作记录、工资条等，以便在需要时证明自己的权益受到侵害。
• 寻求法律援助：若协商无果且公司行为明显违法，员工可寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和支持。

综上所述，公司让员工连续加班的合法性取决于是否遵循了相关法律法规的规定，并确保了员工的合法权益。员工应了解自己的权益，并在面对不合理加班要求时勇敢维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。