便利店偷东西的处罚需根据盗窃财物的价值、盗窃情节以及相关法律法规来综合判定，具体如下：

1. 不构成犯罪的情况

   • 行政处罚：若盗窃便利店财物的价值较小，未达到当地规定的盗窃罪立案标准（通常为一千元至三千元以上，具体标准因地区而异），则一般会按照《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处理。根据该法第四十九条，盗窃公私财物的，可处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；情节较重的，可处十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。例如，偷拿价值几十元的生活用品等，就可能受到此类处罚。

   • 民事赔偿：即便不构成犯罪，便利店作为受害方，仍有权要求盗窃者返还被盗财物。若财物在盗窃过程中受到损坏或灭失，便利店还可以要求盗窃者进行赔偿，以弥补其经济损失。这是基于民法上的物权保护原则，便利店作为物品的所有者，有权维护自己的财产权益。

2. 构成犯罪的情况

   • 盗窃罪的认定：若盗窃行为达到当地规定的盗窃罪立案标准，或者存在多次盗窃（二年内盗窃三次以上）、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃等特定情形，则将依据《中华人民共和国刑法》以盗窃罪论处。

   • 刑事处罚：

     • 数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。这意味着，即使每次盗窃的财物价值不大，但如果累计达到一定次数或存在其他特定情形，也可能构成犯罪并受到刑事处罚。
     • 数额巨大（通常为三万元至十万元以上）或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。这适用于盗窃财物价值较大或存在其他严重情节的情况。
     • 数额特别巨大（通常为三十万元至五十万元以上）或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。这是最严重的处罚，适用于盗窃财物价值特别巨大或存在其他特别严重情节的情况。

处理建议：

• 在发现偷盗行为后，便利店应第一时间报警，并尽可能保留好相关证据（如监控录像、现场照片、目击者证言等），以便后续的法律处理。
• 对于一些情节轻微、盗窃金额极小且行为人有悔改表现的情况，便利店虽然可以选择与行为人及其监护人协商解决，但仍建议报警并记录备案，以防未来出现类似情况或纠纷。

法律依据：

• 《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条：盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或者故意损毁公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。
• 《中华人民共和国刑法（2023修正）》第二百六十四条：盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。

综上所述，便利店发现偷盗行为时，应根据盗窃财物的价值、盗窃情节以及相关法律法规来综合判断并采取相应的法律措施。同时，便利店也应加强自身的安全防范措施，减少盗窃行为的发生。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。