针对您提出的“家庭打架把对方打轻伤二级，对方不签谅解书怎么办”这一问题，以下是我为您提供的详细分析与建议：
一、法律责任明确
在此类案件中，加害方可能面临刑事责任与民事赔偿责任的双重后果。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体致人轻伤的，已构成故意伤害罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑事处罚。轻伤二级已达到此标准，因此公安机关将会立案侦查，并依法采取相应的强制措施。同时，加害方还需承担受害人的医疗费、误工费、护理费、营养费等合理费用的民事赔偿责任。
二、诉讼流程梳理
公安机关立案侦查：公安机关将对案件进行全面调查，收集证据，包括现场勘查、询问证人、调取监控等。若有充分证据证明犯罪嫌疑人实施了伤害行为，将采取取保候审、刑事拘留等强制措施。
检察机关审查起诉：侦查终结后，案件将移送检察机关审查。检察机关将评估证据是否充分，决定是否提起公诉。在此过程中，未达成谅解的情节将在量刑建议中体现，可能影响刑罚的轻重。
法院审判：法院将审理案件，根据事实和证据作出判决。量刑时，法院会考虑双方是否达成谅解。若未达成谅解，通常不会从轻处罚。同时，受害人可在刑事诉讼中提起附带民事诉讼，要求经济赔偿。
执行与强制执行：若法院判决被告人承担民事赔偿责任但拒不履行，受害人可申请强制执行。法院将采取措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以保障受害人的权益。
三、和解与调解的可能性
尽管对方目前不签谅解书，但在诉讼过程中或判决前，双方仍有和解或调解的机会。和解或调解可以节省时间和成本，避免长期诉讼纠纷，对双方均有利。若能达成和解或调解协议并履行完毕，加害方可能面临更轻的刑罚，甚至有可能撤销案件。
四、应对建议
对于加害方：
表达悔意：主动向受害人表达悔意，表明自己愿意承担责任并改正错误。
积极赔偿：筹措赔偿款，尽快支付受害人的合理费用，以争取受害人的谅解。
委托律师：聘请专业律师进行辩护，制定合适的辩护策略，维护自己的合法权益。
对于受害方：
收集证据：收集和保存与案件相关的证据，如医院诊断证明、费用清单、证人证言等，以支持自己的赔偿诉求。
提起附带民事诉讼：在刑事诉讼中提起附带民事诉讼，要求加害方承担经济赔偿责任，并可考虑精神损害赔偿（需符合法定条件）。
咨询律师：咨询专业律师，获取法律建议和支持，确保自己的权益得到充分保护。
综上所述，双方打架导致一方轻伤二级且未达成谅解时，应依法处理纠纷。加害方应主动承担责任，争取受害人的谅解；受害方应积极维权，确保自己的权益得到充分保护。双方均可通过聘请律师来增强自身的法律力量，确保案件得到公正、合理的解决。