结论：司机全责时，公司是否承担责任需视具体情况而定。若司机是在执行工作任务时发生事故，公司通常需承担相应责任；若司机非执行工作任务，则公司一般不承担责任。若公司拒绝赔偿，员工或受害方可通过协商、申请调解、仲裁或提起诉讼等途径来维护自身权益。
分析说明：
司机全责时公司的责任：
- 执行工作任务时：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此，若司机是在执行公司的工作任务时发生事故并负全责，公司通常需承担相应的赔偿责任。
- 非执行工作任务时：若司机并非在执行公司的工作任务时发生事故，如私自驾车外出或从事与工作无关的活动，则公司一般不承担赔偿责任。此时，应由司机个人承担事故责任。
公司拒绝赔偿的处理方式：
- 协商：首先，可以尝试与公司进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。协商过程中，可以明确公司的责任范围、赔偿金额及支付方式等关键问题。
- 申请调解：若协商无果，可以向当地的劳动争议调解委员会或人民调解委员会申请调解。调解委员会会组织双方进行调解，并尝试达成调解协议。
- 仲裁或诉讼：若调解仍无法解决问题，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或直接向人民法院提起诉讼。在仲裁或诉讼过程中，需要提供相关证据，如事故认定书、劳动合同、工资单等，以证明公司的责任及自身的损失。
特殊场景：
- 若司机是公司员工，且事故发生在执行工作任务过程中，但公司拒绝承认责任，此时员工或受害方应坚决维护自身权益，通过法律途径追究公司的责任。
- 若司机非公司员工，而是租赁公司车辆或与公司存在其他合作关系的人员，在事故责任认定上可能更为复杂。此时，需要根据具体合同条款及法律规定来确定责任归属。
行动建议：
- 在处理此类纠纷时，建议首先收集并保存好所有相关证据，如事故现场照片、视频、证人证言、事故认定书等。
- 及时咨询专业律师（即向我咨询），以便更准确地了解自身权益及可能的法律后果。
- 根据具体情况选择合适的解决途径，如协商、调解、仲裁或诉讼等。在处理过程中，保持冷静和理性，避免情绪化行为影响纠纷的解决。