结论：给公司开车发生事故且司机全责时，司机是否需要赔偿主要取决于事故发生时是否属于职务行为、司机是否存在故意或重大过失，以及是否有明确的劳动合同或工作协议约定。在大多数情况下，如果司机是在执行工作任务且无故意或重大过失，赔偿责任由公司承担；但在特殊情况下，司机可能需要承担相应的赔偿责任。

详细分析：

1. 职务行为且无重大过错或故意：

   • 根据《民法典》的相关规定，如果司机在执行工作任务过程中发生交通事故，且对事故的发生没有重大过错或故意，那么一般由用人单位（即公司）承担侵权责任。例如，司机按照公司安排的路线和任务正常行驶时发生的事故，赔偿责任主要由公司承担。这是因为公司作为车辆运营利益的获得者，应当对其员工在执行工作任务时造成的损害负责。

2. 职务行为但存在重大过错或故意：

   • 如果司机在执行职务过程中存在重大过错或故意（如严重超速、酒驾、疲劳驾驶等），虽然公司仍要承担侵权责任，但有权在向受害者赔偿后向有重大过错的司机追偿部分或全部赔偿款项。这是基于风险与责任相一致的原则，司机因其不当行为而应承担相应的法律责任。

3. 非职务行为：

   • 如果司机开车并非执行公司任务，而是出于个人目的（如下班后私自驾车办私事），那么司机需自行承担赔偿责任，与公司无关。此时，公司可能不承担任何赔偿责任，除非有特别约定或法律规定。

4. 劳动合同或工作协议约定：

   • 如果公司与司机之间有明确的劳动合同或工作协议，并约定了关于车辆事故赔偿的相关事宜，那么应当按照约定来确定司机是否需要赔偿。这体现了双方自愿原则和法律约束力。例如，双方在合同中明确约定因司机过错导致的事故需承担一定比例的费用，这种约定在合法范围内是有效的。

5. 保险公司责任：

   • 根据《道路交通安全法》的规定，机动车发生交通事故造成人身伤亡、财产损失的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿。因此，在处理事故时，应首先考虑保险公司的赔偿责任。保险赔付不足的部分，再根据司机和公司的约定或法律规定来分担责任。

综合建议：

• 对于公司而言，应加强对司机的安全教育和培训，降低事故发生的概率和风险。同时，在签订劳动合同时明确相关责任条款，以便在事故发生后能够迅速、准确地确定责任主体和赔偿方式。
• 对于司机而言，应严格遵守交通规则和职业规范，避免酒驾、超速等危险行为。在执行工作任务时，应尽到合理的注意义务，确保行车安全。如果发生事故，应积极配合公司处理相关事宜，并根据实际情况承担相应的责任。

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