结论前置：当仲裁程序存在违法情形时，当事人确实有权向仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销该仲裁裁决，但需满足一定条件并遵循法定程序。
一、申请撤销仲裁裁决的法律依据与条件
根据《中华人民共和国仲裁法》第五十八条的规定，当事人若能提供证据证明仲裁裁决存在以下情形之一的，可以向法院申请撤销裁决，其中就包括“仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的”：
- 没有仲裁协议的；
- 裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁委员会无权仲裁的；
- 仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的；
- 例如，仲裁员与本案当事人、代理人存在可能影响公正仲裁的关系而未回避；
- 未按规定时间和方式通知当事人参加审理，导致当事人未能充分行使陈述和辩论权利；
- 在审理过程中剥夺当事人的质证权利；
- 未按多数仲裁员的意见作出裁决，或未将少数仲裁员的不同意见记入笔录等。
- 裁决所根据的证据是伪造的；
- 对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的；
- 仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿，徇私舞弊，枉法裁决行为的。
此外，如果法院认定裁决违背社会公共利益，也应当裁定撤销。
二、申请撤销仲裁裁决的程序与期限
- 申请时间限制：当事人必须在收到裁决书之日起六个月内向仲裁委员会所在地的中级人民法院提出申请，逾期则丧失申请撤销的权利。
- 举证责任：申请人需承担举证责任，即提供充分的证据证明仲裁裁决存在上述可以撤销的情形。若证据不足，法院可能不予支持其撤销申请。
- 法院审查与裁定：法院将组成合议庭对申请进行审查核实，若确认存在法定情形之一，将裁定撤销裁决。若法院认为需要通知仲裁庭重新仲裁的，可以中止撤销程序；仲裁庭拒绝重新仲裁的，法院应当恢复撤销程序。
三、申请撤销仲裁裁决的法律后果与后续行动
- 法律后果：一旦仲裁裁决被人民法院裁定撤销，该裁决即失去所有法律效力，相当于从未作出。
- 后续行动：当事人在此之后可以选择就原争议事项重新达成仲裁协议并申请仲裁，或者直接向人民法院提起诉讼以寻求解决。
四、实际操作建议
- 及时咨询与评估：在面对仲裁裁决程序违法的情况时，建议当事人及时咨询专业律师（即我本人，喻燕立律师，专注于建设工程、劳动纠纷领域），评估申请撤销的可行性和必要性。
- 准备充分证据：在决定申请撤销前，应仔细研究相关法律规定和证据材料，确保申请有充分的依据和支持。
- 遵循法定程序：按照规定的时间和程序向法院提出申请，并积极配合法院的审查工作。
举例说明：假设在一个劳动纠纷仲裁案件中，仲裁庭在审理过程中未按规定通知一方当事人参加审理，导致该当事人未能充分行使陈述和辩论权利。若该当事人能提供充分证据证明这一程序违法情形，并在收到裁决书之日起六个月内向仲裁委员会所在地的中级人民法院提出申请，那么法院有可能裁定撤销该仲裁裁决。
综上所述，仲裁程序违法时，当事人确实有权申请撤销仲裁裁决，但需满足一定条件并遵循法定程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。