核心结论：店里未购买保险并不影响您向其主张烫伤赔偿的权利，您仍可依据侵权责任法要求店家承担赔偿责任。以下从法律责任、赔偿范围、维权途径三个角度为您详细分析：

1. 店家的法律责任不因未买保险而免除

根据《民法典》第1198条，经营场所、公共场所的经营者、管理者未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
关键点：

• 保险是店家转移风险的商业行为，但法律未强制要求所有经营场所必须购买公众责任险。
  
• 店家是否购买保险，不影响其本身对顾客的安全保障义务。若因店家未尽义务（如地面湿滑未设置警示、设备故障未维修等）导致您烫伤，店家需直接向您赔偿，而非由保险公司代赔。

2. 您可主张的赔偿范围

若店家存在过错，您有权要求其赔偿以下费用（需提供相应证据）：

• 医疗费：烫伤治疗产生的挂号费、检查费、药品费、手术费等；
  
• 误工费：因治疗无法工作导致的收入损失（需提供工资流水、病假证明等）；
  
• 护理费：若烫伤严重需专人护理，可主张护理费（需医嘱或护理证明）；
  
• 交通费：就医产生的合理交通费用；
  
• 营养费：根据医嘱或鉴定结论主张；
  
• 残疾赔偿金/精神损害抚慰金：若烫伤构成伤残（需司法鉴定），可主张残疾赔偿金及精神损害赔偿。

3. 维权途径

步骤1：固定证据

• 立即拍摄现场照片（如地面湿滑、设备故障等）、保存监控录像（若店家配合）；
  
• 保留医疗记录（病历、发票、用药清单等）、误工证明（单位盖章的请假条、工资流水）；
  
• 记录目击者联系方式（如有）。
  

步骤2：协商解决

• 携带证据与店家协商赔偿金额，可参考《人身损害赔偿司法解释》计算标准；
  
• 若店家拒绝赔偿或赔偿金额过低，可进入下一步。
  

步骤3：投诉或诉讼

• 向当地市场监督管理局（12315）或消费者协会投诉，由第三方调解；
  
• 若调解无果，可直接向法院起诉，主张侵权赔偿（需准备起诉状、证据材料）。
  

温馨提示：若烫伤严重（如深度烧伤、影响功能），建议尽快委托律师介入，通过司法鉴定明确伤残等级，以更精准主张赔偿。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。