关于教师病假六个月以上市教育局是否有权批复的问题，这主要取决于具体的请假管理制度以及地方教育部门的相关规定。不过，我可以根据一般的管理实践和您提供的参考信息，给出一个较为详细的解答。

首先，我们需要明确的是，教师的请假管理通常遵循一定的层级和流程。在大多数情况下，教师的短期病假（如几天到几周）可能只需要学校内部的审批，如校长或相关负责人批准即可。然而，当病假时间较长，特别是超过一定期限（如三个月或六个月）时，就可能需要更高层级的教育部门进行审批。

根据您提供的参考信息，我们可以看到：

1. 在宿城区中扬初中的教职工考勤及坐班管理制度中，明确提到“请假3个月以上者，必须经过区教育局批准”。这说明，在该学校，病假超过三个月就需要区教育局的审批。

2. 在文化教育集团教职工请假管理办法中，也提到了长期病假（病休）的审批流程，包括“病假一年内累计超过半年以上者，按国家有关规定办理病休手续，办理病休手续时，需经本人申请，单位同意，区级以上医院证明，且报经区教育局、区人社局审核批准”。这进一步证实了，在长期病假的情况下，区级教育局是有审批权的。

虽然这些信息主要针对的是区级教育局，但我们可以合理推断，在更高级别的教育体系中（如市级教育局），对于更长期或更复杂的病假情况，也可能有相应的审批权限或指导。不过，具体是否由市教育局直接批复，还可能取决于地方的具体规定、学校的隶属关系以及病假的具体情况。

总结来说：

• 在大多数情况下，教师的短期病假可能只需要学校内部的审批。
• 当病假时间较长（如超过三个月或六个月）时，通常需要更高层级的教育部门（如区级教育局）进行审批。
• 具体是否由市教育局批复，可能取决于地方的具体规定、学校的隶属关系以及病假的具体情况。因此，要获取最准确的信息，建议直接咨询所在学校或地方教育部门的相关规定。

希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的澄清，请随时告诉我。