农民工和劳务公司之间是否构成劳动关系，需根据具体情况综合判断，主要取决于双方的管理与被管理关系、劳动报酬支付情况、劳动内容与公司业务的关联性以及双方的主体资格等因素。以下是对此问题的详细分析：

构成劳动关系的情形

1. 管理与被管理关系明显：

   • 人身从属性：若农民工需接受劳务公司的管理和指挥，遵守公司规章制度，如考勤、工作流程等，则体现了强烈的人身从属性。例如，农民工在工地上需按时上下班，听从现场管理人员安排。
   • 经济从属性：若农民工的劳动报酬由劳务公司支付，且报酬与劳动量和工作成果直接相关，如根据生产数量或工作时长获取工资，则体现了经济从属性。

2. 具备劳动关系的法定要素：

   • 主体资格合法：劳务公司必须是依法注册的企业或其他合法组织，农民工需达到法定劳动年龄，具备劳动能力且未超退休年龄。
   • 劳动内容明确且为公司业务组成部分：农民工提供的劳动应是劳务公司业务的组成部分。例如，在建筑劳务公司中，农民工从事的砌墙、钢筋绑扎等工作是公司核心业务的一部分。

3. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，只要农民工与劳务公司之间存在上述管理与被管理关系，且劳动是公司业务的组成部分，即可认定双方存在劳动关系。

不构成劳动关系的情形

1. 劳务关系或承揽关系：

   • 劳务关系：若农民工提供的是临时性、短期性的劳务服务，且不受劳务公司规章制度的严格管理，如公司因活动临时雇佣农民工搭建舞台，工作时间和方式灵活，不受日常考勤约束，则可能构成劳务关系。
   • 承揽关系：若农民工以自己的技能、设备和劳力，按劳务公司要求完成一定工作成果，并交付后获取报酬，如公司将门窗安装工程承包给农民工，农民工自行组织工具和材料进行安装，则可能构成承揽关系。

2. 雇佣主体不适格：

   • 若劳务公司未经合法注册登记，不具备用工主体资格，则农民工与该公司之间不能认定为劳动关系。例如，无营业执照的小作坊雇佣农民工进行生产加工，双方关系可能被认定为其他法律关系。

实际操作建议

• 明确关系性质：农民工和劳务公司在建立关系时，应明确是劳动关系还是劳务关系，并据此签订相应的合同。
• 签订书面合同：无论何种关系，都建议签订书面合同，以明确双方的权利义务，避免后续纠纷。合同内容应包括工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等关键条款。
• 了解法律权益：农民工应了解自己的法律权益，如劳动报酬、休息休假、社会保险等，并在权益受到侵害时及时寻求法律援助。

综上所述，农民工和劳务公司之间是否构成劳动关系，需根据具体情况进行综合判断。在实际操作中，双方应明确关系性质，并签订相应的合同以保障各自的权益。若存在争议或疑问，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。