违法解除劳动合同要求继续履行的申请期限，核心结论如下：

1. 申请仲裁的期限
   根据《劳动争议调解仲裁法》第27条，劳动者应在知道或应当知道权利被侵害之日起1年内申请劳动仲裁。若用人单位违法解除劳动合同，劳动者要求继续履行的，需在此期限内提出仲裁申请，否则可能因超过时效丧失胜诉权。
   例外情形：若因不可抗力或其他正当理由导致逾期，可申请时效中断或延长，但需提供证据支持。

2. 仲裁裁决后的履行期限
   若仲裁裁决支持继续履行合同，用人单位需在裁决生效后立即履行。若用人单位拒不履行，劳动者可向法院申请强制执行，法院将依法采取查封、扣押等措施督促履行。
   注意：若劳动合同已无法继续履行（如岗位已撤销、用人单位主体资格消灭），仲裁委或法院可能驳回继续履行的请求，转而支持赔偿金（按工作年限×月工资标准，最高不超过12年）。

3. 诉讼阶段的期限补充
   若劳动者对仲裁结果不服，可在收到裁决书之日起15日内向法院起诉；若用人单位起诉，劳动者需在收到起诉状副本后15日内提交答辩状。诉讼阶段仍可主张继续履行，但需以仲裁前置为前提。

建议行动：

• 发现违法解除后，第一时间收集解除通知、工资记录、考勤证据等材料；
  
• 优先通过协商或工会调解解决，若无法达成一致，务必在1年内申请仲裁；
  
• 若仲裁/诉讼中用人单位提出“合同无法继续履行”的抗辩，需提前准备岗位存在、用人单位正常经营等反驳证据。
  

如有进一步细节需分析（如解除理由、岗位特殊性等），可直接向我咨询。