当国家机关（这里主要指行政机关，因其职权行使更为直接和广泛）违法行使职权并造成损失时，我们应依据相关法律法规进行严谨而细致的处理，以切实保障公民、法人和其他组织的合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、违法行为的确认
首先，必须明确行政机关的行为是否违法。这通常涉及对行政行为的事实认定、法律适用以及程序合法性的全面审查。确认违法的途径主要有两种：一是通过上级行政机关的复议决定；二是通过人民法院的判决。只有行政机关的行为被确认为违法，受害人才能进一步寻求赔偿和追究责任。
二、损失赔偿的程序与标准
提出赔偿请求：
- 赔偿请求人应先向实施违法行为的行政机关（即赔偿义务机关）提出赔偿请求，并递交详细的赔偿申请书，说明赔偿请求的事实、理由和依据。
- 赔偿请求也可以在申请行政复议或提起行政诉讼时一并提出。
赔偿义务机关处理：
- 赔偿义务机关应在收到赔偿申请书之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 若决定赔偿，应制作赔偿决定书，并明确赔偿的方式、数额和支付期限，然后在规定期限内支付赔偿金。
行政赔偿诉讼：
- 若赔偿义务机关逾期不予赔偿，或者赔偿请求人对赔偿数额有异议，赔偿请求人可以在期限届满之日起3个月内向人民法院提起行政赔偿诉讼。
- 人民法院将依法审理，并作出公正的判决。
赔偿范围与标准：
- 赔偿范围包括人身权损害赔偿（如医疗费、护理费、误工费、残疾赔偿金、死亡赔偿金等）和财产损失赔偿（如直接财产损失和间接财产损失，在法律规定的范围内）。
- 具体赔偿标准参照《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，根据实际损失来确定，确保赔偿的公正性和合理性。
三、追究责任人员的法律责任
行政责任：
- 对于违法行使职权的行政机关工作人员，应依法给予处分，如警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。
- 这有助于维护行政机关的纪律性和公信力。
刑事责任：
- 如果行政行为构成犯罪，如滥用职权罪、玩忽职守罪等，将依法追究相关责任人员的刑事责任。
- 刑事责任可能包括有期徒刑、拘役等刑罚，以彰显法律的严肃性和威慑力。
四、纠正错误与公开道歉
纠正错误：
- 行政机关应及时纠正其违法行为，如撤销违法的行政决定、恢复受害人的合法权益等。
- 这有助于消除违法行为带来的不良影响，恢复行政机关的合法性和权威性。
公开道歉与整改：
- 在某些情况下，行政机关可能需要向受害人或公众公开道歉，以表达歉意和诚意。
- 同时，行政机关还应承诺采取措施进行整改，防止类似事件再次发生，提升行政机关的透明度和公信力。
五、法律依据
- 《中华人民共和国国家赔偿法》：该法规定了国家赔偿的范围、程序和标准，为受害人提供了法律保障。
- 《中华人民共和国行政诉讼法》：该法规定了行政诉讼的程序和要求，受害人可以通过行政诉讼来维护自己的合法权益。
- 其他相关法律法规：如《中华人民共和国公务员法》、《行政机关公务员处分条例》等，也对行政机关的职权行使和责任追究进行了规范。
综上所述，当国家机关违法行使职权造成损失时，我们应通过明确的法律程序寻求赔偿，追究相关责任人员的法律责任，并采取措施纠正错误和公开道歉整改。这些措施共同构成了对违法行使职权的全面应对和防范机制，有助于维护公民的合法权益和行政机关的公信力。