核心结论：员工从第一家公司工作5年后到第二家公司上班，被第二家公司辞退时的补偿情况，需根据辞退原因来确定，具体如下：

1. 若第二家公司违法辞退员工
   • 根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的工作年限仅计算在第二家公司的工作时间。例如员工在第二家公司工作了2年，月工资为5000元，那么违法辞退的赔偿金就是2×5000×2 = 20000元。
2. 若第二家公司因劳动者存在过错而辞退员工
   • 根据《劳动合同法》第三十九条规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。在这种情况下，用人单位无需支付经济补偿。比如员工严重违反第二家公司的考勤制度，经常旷工，公司依据规章制度将其辞退，就不需要支付补偿。
3. 若第二家公司因客观情况变化或经济性裁员等原因辞退员工
   • 客观情况发生重大变化：根据《劳动合同法》第四十条第三项规定，劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。例如第二家公司因市场环境变化，业务大幅萎缩，需要将员工所在的部门撤销，且与员工协商不成变更劳动合同，那么就要支付经济补偿。
   • 经济性裁员：根据《劳动合同法》第四十一条规定，有下列情形之一，需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员：（一）依照企业破产法规定进行重整的；（二）生产经营发生严重困难的；（三）企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；（四）其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。这种情况下，同样按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。

温馨提示：在实际操作中，证据的收集和认定非常关键，比如证明工作年限的劳动合同、工资发放记录等，证明辞退原因的相关通知、规章制度等。如果您遇到此类问题，有问题可以直接向我咨询。