结论：刑事判决生效前被害人近亲属提请抗诉不被支持，生效后又提出申诉的，法院或检察院是会受理的，但需满足一定的条件。
详细分析：
申诉的法律依据与主体资格
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉。被害人作为刑事诉讼的当事人之一，自然具有提出申诉的主体资格。若被害人死亡或丧失行为能力，其法定代理人或近亲属可代为行使这一权利。
申诉的条件
- 向法院提出申诉时，通常需要满足以下条件之一：有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误；据以定罪量刑的证据不确实、不充分或证明案件事实的主要证据之间存在矛盾；原判决、裁定适用法律确有错误；审判人员在审理该案件时存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
- 向检察院提出申诉时，条件可能包括：法院驳回再审申请后，当事人仍认为判决存在错误；发现审判人员存在职务犯罪行为。
- 在您描述的情况下，虽然生效前被害人近亲属提请抗诉未被支持，但这并不影响其在判决生效后基于新的证据或理由提出申诉。
申诉的程序
- 向法院提出申诉时，需向作出生效判决的人民法院提交书面申诉材料，包括申诉人身份证明、原判决书复印件及具体申诉理由。法院将依法审查申诉是否符合受理条件，并作出相应处理决定。
- 向检察院提出申诉时，需向同级人民检察院提交申诉书及相关证据材料。检察院将依法进行审查，必要时可启动抗诉程序。若检察院经审查认为判决正确，将作出不支持申诉的决定。
申诉的注意事项
- 时效限制：申诉需在知道或应当知道判决结果后一定期限内提出（通常为六个月至两年，具体根据案件类型和地区可能有所不同），逾期可能丧失申诉权。
- 证据要求：申诉需提供充分证据支持主张，否则可能被驳回。在您的情况下，如果近亲属在判决生效后发现了新的证据或理由，应尽快整理并提交。
- 法律后果：申诉期间不影响原判决执行，但检察院提起抗诉或法院决定再审时，可能中止执行。
建议：
- 如果被害人近亲属在判决生效后认为判决存在错误，并希望提出申诉，应尽快收集相关证据和理由，并按照法定程序向法院或检察院提交申诉材料。
- 在申诉过程中，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导，以确保申诉的合法性和有效性。
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