结论前置：公司开除员工且拒绝赔偿时，员工可以通过判断解除劳动合同的合法性，采取与公司协商、申请劳动仲裁、提起诉讼或向劳动监察部门投诉等途径来维护自己的合法权益。
一、判断解除劳动合同的合法性
合法解除无需赔偿的情况：
- 试用期不符合录用条件：若员工在试用期内被证明不符合录用条件，且公司有明确的录用条件和考核标准，并能提供证据证明员工不符合这些条件，公司可以解除劳动合同且无需支付经济补偿金。
- 严重违反规章制度：若公司的规章制度经过民主程序制定并公示，且员工的行为确实违反了这些制度中的严重违纪条款（如旷工达到一定天数），公司有权解除劳动合同，同样无需支付经济补偿金。
- 严重失职或营私舞弊：员工因严重失职给公司造成重大损害，或营私舞弊导致公司利益受损的，公司可以解除劳动合同，并无需承担赔偿责任。但需确保公司有充分的证据支持其主张。
- 被依法追究刑事责任：若员工被依法追究刑事责任，公司可以立即解除劳动合同，且无需支付任何补偿。
- 其他法定情形：如员工同时与其他用人单位建立劳动关系且对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正；以及以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同等情形，公司均有权解除劳动合同而无需赔偿。
违法解除需要赔偿的情况：
- 无合法理由解除合同：若公司没有合法的理由就单方面解除劳动合同，属于违法解除。根据《劳动合同法》规定，公司应支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。
- 未提前通知解除合同：若公司依据特定情形（如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作）解除劳动合同，但未提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资，则可能构成违法解除，需承担赔偿责任。
- 经济性裁员违规：公司进行经济性裁员时，若未按照法律规定履行相应程序（如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、将裁减人员方案报送劳动行政部门等），则裁员行为可能被认定为违法，需对员工进行赔偿。
二、维权途径
与公司协商解决：
- 步骤与方式：员工应首先尝试与公司进行友好协商，通过面对面沟通或书面函件等方式，明确指出公司开除行为可能存在的违法或不合理之处，并要求公司按照法律规定给予相应的赔偿。在协商过程中，保持冷静和理性，避免情绪化表达，同时准备好劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、开除通知等相关证据材料以支持自己的主张。
- 协商目的：通过高效且友好的协商方式解决纠纷，有助于保持与员工与公司的相对良好关系。
申请劳动仲裁：
- 适用情况与条件：若协商无果，员工可在法定时效内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。常见适用情况包括公司违法解除劳动合同或未按照法定程序解除劳动合同。
- 所需材料与流程：准备劳动仲裁申请书，写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由等内容。提交相关证据材料，如劳动合同、工资支付记录、开除通知等，以证明劳动关系存在及公司违法开除的事实。按照仲裁委员会的流程，经历提交申请、受理与通知、开庭审理及裁决等环节。
- 仲裁结果：仲裁委员会将根据事实和法律作出裁决，若员工的诉求得到支持，公司将需按照裁决结果支付相应赔偿。
提起诉讼：
- 适用情况：若对仲裁结果不满意，员工可在规定期限内向人民法院提起诉讼。
- 诉讼流程与结果：向有管辖权的人民法院提交起诉状和相关证据材料，经历立案受理、审理与判决等环节。法院将依法审理并作出判决，要求公司支付赔偿或承担其他法律责任。
向劳动监察部门投诉：
- 投诉途径：员工还可以选择向当地劳动监察部门投诉举报公司的违法行为，劳动监察部门将依法进行调查处理。
三、赔偿标准与计算
经济补偿金：
- 计算标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资定义：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，则按三倍数额及十二年上限计算。
赔偿金：
- 若公司违法解除劳动合同，需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式与上述无过错性辞退的经济补偿相同。
其他补偿：
- 应得工资及福利：公司在解除劳动合同之日起应一次性支付员工应得的工资及未享受的福利待遇。
- 额外损失赔偿：如果员工因公司无故开除而遭受其他损失，如寻找新工作产生的合理费用，公司也应予以赔偿。
- 工伤医疗补助金和伤残就业补助金：若员工在医疗期满后，经鉴定丧失或部分丧失劳动能力，公司除支付经济补偿外，还应依照国家有关工伤保险的规定支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
总结与建议：面对公司开除员工且拒绝赔偿的情况，员工应积极运用法律武器维护自身合法权益。通过判断解除劳动合同的合法性，采取与公司协商、申请劳动仲裁、提起诉讼或向劳动监察部门投诉等途径来解决问题。同时，建议员工在平时工作中注意保留相关证据，如劳动合同、工资支付记录、考勤记录等，以便在需要时能够有力地支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。