在价格认证中心不受理行政案件重新鉴定的情况下，一般可以指定第三方公司进行鉴定，但需满足一定条件并遵循相关程序。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与原则

1. 行政鉴定的一般原则：

   • 行政鉴定通常由具有相应资质和能力的机构进行，以确保鉴定的公正性、准确性和权威性。
   • 当原鉴定机构（如价格认证中心）因某种原因不受理重新鉴定时，行政机关或当事人可以寻求其他具有资质的第三方机构进行鉴定。

2. 指定第三方公司的法律依据：

   • 虽然具体的行政法规或规章可能未直接规定在价格认证中心不受理时可以指定第三方公司，但根据行政鉴定的一般原则和程序，以及《行政诉讼法》等相关法律的精神，行政机关在行使职权时，有权根据实际情况选择合适的鉴定机构。
   • 此外，如果行政案件涉及专业技术问题，且原鉴定机构无法提供服务，行政机关或当事人通常有权委托其他具有相应资质的第三方机构进行鉴定。

二、指定第三方公司的条件与程序

1. 条件：

   • 第三方公司必须具备相应的鉴定资质和能力，能够胜任行政案件的重新鉴定工作。
   • 第三方公司应与原鉴定机构（如价格认证中心）无利害关系，以确保鉴定的公正性。
   • 行政机关或当事人在选择第三方公司时，应遵循公开、公平、公正的原则，避免利益输送或不当影响。

2. 程序：

   • 行政机关或当事人应首先向原鉴定机构提出重新鉴定的申请，并说明理由。如果原鉴定机构不受理，应出具书面说明。
   • 在获得原鉴定机构不受理的书面说明后，行政机关或当事人可以开始寻找并选择合适的第三方公司。
   • 选择第三方公司后，行政机关或当事人应与其签订鉴定委托合同，明确鉴定的范围、标准、期限等事项。
   • 第三方公司应按照合同约定进行鉴定，并出具鉴定报告。行政机关或当事人应将鉴定报告作为行政案件的重要证据之一。

三、可能遇到的法律问题与建议

1. 第三方公司的资质与能力问题：

   • 在选择第三方公司时，务必核实其资质和能力，确保其能够胜任行政案件的重新鉴定工作。
   • 如果第三方公司的鉴定报告存在瑕疵或错误，可能导致行政案件的处理结果受到影响。因此，在选择第三方公司时，应谨慎评估其信誉和实力。

2. 鉴定程序的合法性与公正性问题：

   • 指定第三方公司进行鉴定时，应确保鉴定程序的合法性和公正性。避免出现程序违法或不当影响鉴定结果的情况。
   • 如果对第三方公司的鉴定报告有异议，可以依法申请重新鉴定或提出其他法律救济途径。

如有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更为详细和专业的法律解答。