结论：通过劳动仲裁需赔偿给劳务派遣公司的补偿，在一般情况下，劳务派遣公司并不需要开具发票，但具体是否需要开具发票还需根据赔偿款项的性质以及税务部门的相关规定来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、赔偿款项的性质
经济补偿金或赔偿金：如果通过劳动仲裁裁决或调解，你需要向劳务派遣公司支付的是经济补偿金或赔偿金，这通常被视为对劳务派遣公司因你离职或违约行为所遭受损失的补偿。这种性质的款项，一般不属于增值税的应税范围，因此劳务派遣公司不需要开具发票。
工资或福利等应税收入：如果赔偿款项中包含了应支付给劳务派遣公司的工资、奖金、津贴、补贴等应税收入，那么这部分款项就需要按照税法规定缴纳个人所得税，并且劳务派遣公司在支付时可能需要开具相应的发票或完税证明，但这更多是从你作为劳动者（或原劳动者）的角度来考虑税务问题，而非劳务派遣公司开具发票给支付方（即你或仲裁机构）。不过，在实际操作中，这种情况较为少见，因为劳动仲裁通常不会裁决你向劳务派遣公司支付工资等应税收入。
二、税务部门的相关规定
增值税规定：根据增值税的相关规定，只有提供应税劳务、转让无形资产或销售不动产的单位和个人，才需要开具增值税发票。如果赔偿款项不属于这些范围，那么劳务派遣公司就不需要开具发票。
个人所得税规定：对于你作为支付方（如果赔偿款项由你个人承担）来说，如果赔偿款项中包含了应税收入，你需要按照税法规定缴纳个人所得税。但这并不直接涉及劳务派遣公司是否需要开具发票的问题。
三、实际操作建议
咨询税务部门：由于税务问题可能因地区、政策等因素而有所不同，因此建议你咨询当地税务部门或专业税务机构，以获取更准确、更具体的税务指导。
保留相关证据：无论是否需要开具发票，你都应该保留好劳动仲裁裁决书、调解书以及支付赔偿款项的相关证据，以备不时之需。
与劳务派遣公司沟通：在支付赔偿款项前，你可以与劳务派遣公司沟通确认是否需要开具发票以及开具何种类型的发票，以避免不必要的麻烦和误解。
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