未依法履行职责与行政复议之间存在明确的法律关系，即公民认为行政机关未依法履行职责时，有权申请行政复议。以下是对这一关系的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政复议法》第六条的规定，有下列情形之一的，公民、法人或者其他组织可以依照本法申请行政复议，其中就包括“申请行政机关履行保护人身权利、财产权利、受教育权利的法定职责，行政机关没有依法履行的”。这一条款明确规定了公民在认为行政机关未依法履行其应尽职责时，有权通过行政复议途径寻求救济。
二、行政复议的作用与意义
监督行政机关依法行政：
- 行政复议制度为公民提供了对行政机关行为进行监督的法律手段。当行政机关不履行或不当履行职责时，公民可以通过行政复议要求行政机关纠正错误，确保行政行为合法、合理。
保障公民合法权益：
- 行政复议是公民维护自身合法权益的重要途径。当公民的人身权利、财产权利等受到侵害，且认为行政机关未依法履行职责时，可以通过行政复议请求行政机关履行保护职责，从而维护自己的合法权益。例如，若公民申请行政机关保护其财产安全，但行政机关未采取任何措施，导致公民财产受损，此时公民即可申请行政复议，要求行政机关承担相应责任。
促进法治政府建设：
- 行政复议制度的实施有助于推动法治政府的建设。通过行政复议，可以发现行政机关在履行职责过程中存在的问题和不足，促使行政机关改进工作作风，提高依法行政水平。
三、申请行政复议的具体情形与流程
具体情形：
- 公民认为行政机关未依法履行其应尽的职责，如未依法发放抚恤金、社会保险金或者最低生活保障费等，均可申请行政复议。
申请流程：
- 公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请；但是法律规定的申请期限超过六十日的除外。
- 申请人申请行政复议，可以书面申请，也可以口头申请；口头申请的，行政复议机关应当当场记录申请人的基本情况、行政复议请求、申请行政复议的主要事实、理由和时间。
四、法律后果与救济途径
法律后果：
- 若行政复议机关认为行政机关未依法履行职责，将作出撤销、变更或者确认该具体行政行为违法的决定，并可责令行政机关在一定期限内重新作出具体行政行为。
救济途径：
- 若公民对行政复议决定不服，还可以依法向人民法院提起行政诉讼，以进一步维护自己的合法权益。
总结来说，未依法履行职责与行政复议之间存在紧密的法律联系。当公民认为行政机关未依法履行其应尽职责时，有权通过行政复议途径寻求救济。这一制度不仅监督了行政机关的依法行政行为，还保障了公民的合法权益，促进了法治政府的建设。若您在行政复议方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。