针对“不签合同随意开除员工赔偿多少”的问题，结论前置如下：

1. 未签订书面劳动合同的赔偿：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，需向劳动者每月支付二倍的工资，最长赔偿期限为11个月。
2. 违法解除劳动关系的赔偿：若用人单位无正当理由开除员工，构成违法解除劳动关系，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

详细分析如下：

一、未签订书面劳动合同的赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条和第八十二条的规定，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，应自用工之日起一个月内完成签订。如用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿，最长赔偿期限为11个月。

举例说明： 假设员工A于2024年1月1日入职某公司，但公司一直未与其签订书面劳动合同，直至2024年11月1日将员工A开除。那么，从2024年2月1日至2024年10月31日这9个月期间（因最长赔偿11个月，且1月为入职首月不计入内），公司除正常发放工资外，还需额外向员工A支付每月工资的二倍作为赔偿。若员工A月工资为5000元，则公司需额外支付45000元作为赔偿。

二、违法解除劳动关系的赔偿

若用人单位无正当理由开除员工，该行为被认定为违法解除劳动关系，则根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

举例说明： 假设员工B在某公司工作了3年零3个月，月平均工资为6000元。若公司无正当理由将其开除，属于违法解除劳动关系，公司应支付的赔偿金为：

\(赔偿金 = 经济补偿 \times 2 = (工作年限 \times 月工资) \times 2 = (3.5 \times 6000) \times 2 = 42000元\)

但若员工B是因犯错或不能胜任工作被开除，且公司能够证明其开除行为的合法性，则公司无需支付此笔赔偿金。不过，对于未签订书面劳动合同的二倍工资仍需依法支付。

三、未提前通知的额外赔偿（如适用）

此外，如果用人单位在开除员工时未提前一个月通知或未多给一个月工资作为代通知金，还需根据员工的工作年限额外支付赔偿金，每满一年支付一个月工资的标准进行赔偿。但这一规定并非所有情况下都适用，需根据具体案情和当地劳动法规进行判断。

四、证据收集与维权建议

劳动者在主张上述赔偿时，应收集相关证据以证明与用人单位存在劳动关系及工作时间、工资水平等关键信息。这些证据包括但不限于工资支付记录（如银行流水、工资条）、工作证、考勤记录、同事证言等。若公司与员工就赔偿问题无法达成一致，员工可通过以下途径维权：

1. 协商与投诉：首先尝试与公司进行协商，若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉。
2. 申请劳动仲裁：若投诉未能解决问题，员工可依法向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据以证明劳动关系及公司违法开除的事实。仲裁机构将依法进行裁决，维护员工的合法权益。

总结与建议：

用人单位在开除未签合同的员工时，应充分考虑劳动合同的签订情况及解除劳动合同的合法性，以避免不必要的赔偿责任。如遇复杂情况或争议，建议直接向我咨询以获取更准确的法律意见和解决方案。