结论前置：老板开除未签订劳动合同的员工，员工在符合法定情形下，有权获得相应的赔偿，具体包括未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动关系的赔偿金。

一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条与第八十二条的规定，用人单位应在用工之日起一个月内与员工订立书面劳动合同。若未在规定时间内签订，用人单位需自第二个月起至满一年期间，每月向员工支付双倍的工资作为赔偿，最多可主张11个月的双倍工资差额。

举例说明：若员工于2024年1月1日入职，一直未签订劳动合同，那么从2024年2月1日起，员工可以主张至多11个月的双倍工资差额。具体计算方式为：月工资×11（个月）×2（倍）-已支付的工资（即实际可主张的差额部分）。

二、违法解除劳动关系的赔偿金

1. 违法解除的情形：若用人单位无故或不符合法定理由辞退员工，属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月则支付半个月工资的赔偿金。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

举例说明：若员工在公司工作了3年零2个月，月平均工资为5000元，若被违法辞退，则员工可以获得的赔偿金为：3.5（年）×5000（元/月）×2（倍）=35000元。

1. 合法解除但需支付经济补偿的情形：在特定情况下，如员工患病不能胜任工作、经过培训或调整岗位仍不能胜任等（《劳动合同法》第四十条），用人单位可提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付经济补偿，标准同上。

2. 合法解除无需支付经济补偿的情形：若员工存在严重违反规章制度、失职造成重大损害等情形（《劳动合同法》第三十九条），用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿或赔偿金。

三、其他经济补偿情形

根据《劳动合同法》第四十六条，除上述情形外，还有多种情况下用人单位应向员工支付经济补偿，包括但不限于：

• 因用人单位过错导致员工辞职；
• 双方协商一致解除劳动合同；
• 经济性裁员；
• 劳动合同期满且未续订特定条件下的固定期限合同；
• 用人单位被依法宣告破产或解散导致合同终止等。

经济补偿的具体数额同样依据员工在本单位的工作年限和月工资水平确定，另有特殊规定的情况除外（如月工资高于当地职工月平均工资三倍的，补偿标准有限制）。

四、实际操作建议

面对未签订劳动合同被开除的情况，员工应：

1. 收集证据：证明与用人单位存在事实劳动关系，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
2. 协商解决：首先尝试与用人单位通过友好协商的方式解决赔偿事宜。
3. 申请仲裁：若协商不成，可以向当地的劳动争议仲裁委员会提出劳动仲裁申请。
4. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，还可以依法向人民法院提起诉讼。

在维权过程中，员工应了解具体的赔偿金额和方式可能因地区和案件的具体情况而有所不同。若你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和帮助。