结论前置：劳动合同到期超过一个月后，合同已自然终止。关于是否可以终止劳动合同以及是否有赔偿，这主要取决于用人单位与劳动者的具体情况和续签意愿。
一、劳动合同到期后的终止权利
劳动合同的自然终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项规定，劳动合同期满的，劳动合同即行终止。因此，当劳动合同到期超过一个月后，若双方未续签且无其他约定，该劳动合同已自然终止。
用人单位与劳动者的选择权：
- 劳动合同终止后，双方均有权选择是否续签。若用人单位决定不续签，且不存在违法终止的情形，则合同自然终止，无需额外支付赔偿（但需注意经济补偿的支付义务，详见下文）。
- 若劳动者决定不续签，且用人单位维持或提高了原劳动合同条件，则劳动者无权要求经济补偿。
二、经济补偿的支付情况
用人单位不续签或降低条件续签导致劳动者不续签：
- 根据《劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
劳动者不续签且用人单位维持或提高条件：
- 若用人单位维持或提高了原劳动合同条件，而劳动者选择不续签，则用人单位无需支付经济补偿。
三、特殊情况下的处理
连续订立二次固定期限劳动合同后到期：
- 根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。若用人单位此时不续签，则构成违法终止，需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
劳动者特殊保护情况：
- 若劳动者在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的，即使劳动合同到期，用人单位也不得终止劳动合同，除非劳动者本人提出。此情况下不续签同样需支付经济补偿。
四、建议与注意事项
及时沟通续签事宜：
- 为避免不必要的法律纠纷和经济损失，建议用人单位在劳动合同到期前一个月内与员工沟通续签事宜，明确续签意愿和条件。
依法办理离职手续：
- 劳动合同终止后，双方应依法办理离职手续，包括工作交接、薪资结算、社保关系转移等。
保存相关证据：
- 为防范未来纠纷，双方应妥善保存与劳动合同终止相关的所有证据，如合同文本、离职证明、薪资结算单等。
总结：劳动合同到期超过一个月后，合同已自然终止。关于是否有赔偿，主要取决于用人单位与劳动者的具体情况和续签意愿。若用人单位不续签或降低条件续签导致劳动者不续签，则需支付经济补偿；若劳动者不续签且用人单位维持或提高条件，则无需支付。在处理此类问题时，建议用人单位和劳动者均应了解自身权益和义务，依法行事。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。