结论：在上市公司自动离职一个月内出现死亡，是否与公司有关，需根据具体情况判断，主要看死亡原因是否与工作相关或公司是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、若死亡原因与工作无关
法律关系分析：
- 自动离职意味着员工已主动解除了与公司的劳动关系。在劳动关系解除后，员工发生的非工作相关死亡，原则上与公司无直接法律关系。
- 例如，员工离职后因个人健康原因（如突发疾病、意外事故等）导致死亡，这些情况通常不被视为工伤，公司无需承担赔偿责任。
公司责任：
- 在此情况下，公司无需对员工的死亡承担法律责任，除非公司存在其他过错（如未依法支付离职补偿、未办理离职手续导致员工无法享受相关待遇等），但这些过错与员工死亡无直接因果关系。
二、若死亡原因与工作相关
法律关系分析：
- 如果员工在自动离职前已因工作原因受伤或患病，且该伤害或疾病在离职后一个月内导致死亡，那么这种情况可能构成工伤或视同工伤。
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害，以及在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。此外，员工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。
公司责任：
- 若员工死亡被认定为工伤或视同工伤，公司需按照《工伤保险条例》的规定承担相应的赔偿责任，包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 即使员工已自动离职，但只要其死亡与工作相关且符合工伤认定条件，公司仍需承担相应责任。不过，具体责任承担可能因员工离职时的具体情况（如是否已办理离职手续、是否已享受工伤保险待遇等）而有所不同。
三、特殊情况考虑
公司过错导致死亡：
- 如果公司存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训、未及时救治受伤员工等），且该过错与员工死亡有直接因果关系，那么公司需承担相应的法律责任。
员工自身过错：
- 如果员工死亡是由于其自身过错（如故意违章操作、醉酒上岗等）导致的，那么公司可能无需承担全部或部分责任，具体需根据过错程度和相关法律规定判断。
建议：
- 对于员工家属而言，如果认为员工死亡与公司有关，建议及时收集相关证据（如工作记录、医疗记录、证人证言等），并向当地劳动保障部门申请工伤认定。
- 对于公司而言，如果面临此类纠纷，建议积极配合调查，提供必要的证据和资料，以便劳动保障部门或法院作出公正裁决。
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