结论：对方家长电话中辱骂您孩子并声称要砍其手的行为，是否构成犯罪需分情况讨论，可能涉及侮辱罪、寻衅滋事罪或故意伤害罪（未遂）等罪名，但需结合具体情节和证据判断。以下从不同角度详细分析：

一、辱骂行为可能构成侮辱罪

1. 法律依据
   根据《刑法》第246条，以暴力或其他方法公然侮辱他人，情节严重的，构成侮辱罪。此处“公然”指当众或通过可被第三人知晓的方式（如电话录音、公开场合辱骂等）实施侮辱。

2. 关键情节

   • 若对方家长在电话中辱骂时，您孩子或第三方在场（如其他同学、老师），或辱骂内容被录音、传播，可能被认定为“公然”。
     
   • 需达到“情节严重”标准，例如辱骂内容极端恶劣（如涉及种族、性别歧视）、多次辱骂、造成您孩子精神严重受损（如抑郁、自杀倾向）等。

3. 法律后果
   若构成侮辱罪，可处3年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利。但需注意：

   • 侮辱罪原则上是“告诉才处理”的案件，即需您孩子或其监护人主动向法院提起自诉（除非严重危害社会秩序和国家利益）。
     
   • 若您孩子未满18周岁，您作为监护人可代为提起自诉。

二、威胁砍手可能构成寻衅滋事罪或故意伤害罪（未遂）

1. 寻衅滋事罪

   • 法律依据：根据《刑法》第293条，随意殴打他人、追逐拦截辱骂他人、恐吓他人，情节恶劣的，构成寻衅滋事罪。
     
   • 关键情节：若对方家长在电话中以“砍手”等暴力威胁您孩子，且威胁内容具体、明确（如时间、地点、工具），可能被认定为“恐吓他人，情节恶劣”。
     
   • 法律后果：可处5年以下有期徒刑、拘役或管制；纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处5-10年有期徒刑。

2. 故意伤害罪（未遂）

   • 法律依据：根据《刑法》第234条，故意伤害他人身体的，处3年以下有期徒刑、拘役或管制；致人重伤的，处3-10年有期徒刑。若因意志以外原因未得逞，可按未遂犯从轻或减轻处罚。
     
   • 关键情节：若对方家长不仅威胁，还实际准备了工具（如刀具）、前往您孩子所在地点，或已实施部分伤害行为（如推搡、拉扯），可能被认定为故意伤害罪未遂。
     
   • 法律后果：需结合伤害结果（如是否造成轻微伤、轻伤）和主观恶性（如是否预谋、是否针对未成年人）综合判断量刑。

三、实务建议

1. 固定证据

   • 立即保存电话录音、短信、微信聊天记录等证据，若对方通过第三方（如其他家长）传播威胁内容，也需一并保存。
     
   • 若您孩子因威胁出现精神异常（如失眠、恐惧），及时就医并保留诊断证明，作为“情节严重”的证据。

2. 报警处理

   • 向当地公安机关报案，要求立案侦查。公安机关会根据证据判断是否构成治安处罚（如行政拘留、罚款）或刑事犯罪。
     
   • 若公安机关不予立案，可向其出具《不予立案通知书》，并向同级检察院申请立案监督。

3. 提起自诉或民事赔偿

   • 若侮辱罪成立，可向法院提起刑事自诉，同时主张民事赔偿（如精神损害抚慰金）。
     
   • 若威胁行为未达刑事标准，可依据《治安管理处罚法》第42条，要求公安机关对对方家长处5日以下拘留或500元以下罚款；情节较重的，处5-10日拘留，可并处500元以下罚款。

最后提醒：未成年人权益受法律特殊保护，对方家长的行为可能因针对未成年人而从重处罚。建议您尽快采取行动，保护孩子合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。