结论：家政公司是否承担连带责任，需根据具体情况判断，主要看家政公司是否存在过错以及过错与阿姨去世之间的因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、家政公司存在过错的情况
选任过错：
- 如果家政公司在选任阿姨时，未尽到合理的审查义务，例如未对阿姨的健康状况、工作能力等进行必要的评估，或者选任了明显不适合从事家政工作的阿姨，导致阿姨在从事家政工作时因自身健康问题或其他原因去世，那么家政公司可能因选任过错而承担相应的赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。” 家政公司作为雇主（或中介方，若其承担了选任责任），在选任过程中存在过错，且该过错与阿姨的去世存在因果关系时，应承担侵权责任。
管理过错：
- 如果家政公司在阿姨工作期间，未尽到合理的管理义务，例如未提供必要的工作条件、未对阿姨进行必要的安全培训、未及时发现并处理阿姨工作中的安全隐患等，导致阿姨在工作中发生意外去世，家政公司也可能因管理过错而承担赔偿责任。
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，家政公司作为管理方，在管理过程中存在过错，且该过错与阿姨的去世存在因果关系时，应承担侵权责任。
二、家政公司不存在过错的情况
- 如果家政公司在选任和管理过程中均尽到了合理的义务，阿姨的去世是由于其自身健康原因（如突发疾病）或其他不可抗力因素（如自然灾害）导致的，且家政公司无法预见、无法避免也无法克服，那么家政公司通常不承担赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十四条：“损害是因受害人故意造成的，行为人不承担责任。” 以及第一千一百七十六条：“自愿参加具有一定风险的文体活动，因其他参加者的行为受到损害的，受害人不得请求其他参加者承担侵权责任；但是，其他参加者对损害的发生有故意或者重大过失的除外。” 虽然这些条款直接针对的是受害人故意或自愿参加风险活动的情况，但原理上，如果损害是由受害人自身原因或不可抗力导致，且行为人无过错，则行为人不承担责任。在家政服务场景中，可类比适用。
三、特殊情况：家政公司作为中介方的情况
- 如果家政公司仅作为中介方，为雇主和阿姨提供中介服务，并不直接雇佣阿姨，也不对阿姨进行管理和选任，那么家政公司通常不承担阿姨去世的赔偿责任。但前提是家政公司已尽到了合理的中介义务，如如实告知雇主和阿姨双方的信息、协助双方签订合同等。
- 法律依据：此时，家政公司与雇主、阿姨之间形成的是中介合同关系，根据《中华人民共和国民法典》第九百六十二条：“中介人应当就有关订立合同的事项向委托人如实报告。中介人故意隐瞒与订立合同有关的重要事实或者提供虚假情况，损害委托人利益的，不得请求支付报酬并应当承担赔偿责任。” 若家政公司已尽到如实报告等义务，则不承担赔偿责任。
建议：
- 如果您是雇主，遇到此类情况，建议首先与家政公司协商，了解阿姨去世的具体原因和家政公司的责任情况。
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼，要求家政公司承担相应的赔偿责任（如果家政公司存在过错）。
- 在处理此类纠纷时，建议您保留好相关证据，如合同、阿姨的健康证明、工作记录等，以便在需要时提供证明。
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