关于您提出的“私生子孩子监护权是否只有父母一方”的问题，这是一个涉及法律权益的重要议题。首先，需要明确的是，非婚生子女，即我们通常所说的“私生子”，在法律上享有与婚生子女同等的权利。这意味着，无论是婚生子女还是非婚生子女，他们的父母都负有抚养、教育和保护的义务，这是法律对未成年子女权益的明确保障。

针对监护权的问题，非婚生子女的监护权并非仅由父母一方享有，而是父母双方共同享有。父母作为未成年子女的法定监护人，他们平等地享有对子女的抚养、教育和保护的权利，同时也共同承担这些义务。这一原则在《中华人民共和国民法典》中有明确的规定，即“夫妻双方平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利，共同承担对未成年子女抚养、教育和保护的义务”。

在特殊情况下，如果生父母因特殊困难无力抚养子女，他们可以考虑送养子女。但送养并非随意进行，而是需要遵循一定的法律程序和条件。例如，如果知道生父母双方，则应由生父母双方共同送养；如果一方不明或查找不到，则可以由单方送养。此外，送养还需要满足生父母有重特大疾病、重度残疾、被判处有期徒刑、无期徒刑或者死刑等特殊困难无力抚养的条件，或者确因其他客观原因无力抚养子女。

在实际操作中，如果父母双方因分居、离婚等原因无法共同行使监护权，法院会根据最有利于被监护人的原则，暂时确定未成年子女的抚养事宜。这通常涉及到对父母双方抚养条件、子女年龄、性别、健康状况等多方面的综合考虑。例如，在指导性案例228号中，法院就根据最有利于未成年子女的原则，判决了暂时由母亲直接抚养低幼龄的未成年子女，并明确了父亲探望的权利和母亲协助配合的义务。

综上所述，非婚生子女的监护权并非仅由父母一方享有，而是父母双方共同享有。在特殊情况下，如果生父母无力抚养子女，他们可以考虑送养，但需要遵循法律程序和条件。如果父母双方无法共同行使监护权，法院会根据最有利于被监护人的原则进行判决。希望这些解答能够帮助您更好地理解非婚生子女监护权的相关问题。